12 球坐标系中的赫姆霍兹方程的解

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1、章节安排9.1直角坐标系中赫姆霍兹方程的解9.2柱坐标系中赫姆霍兹方程的解9.3球坐标系中赫姆霍兹方程的解9.4推迟势的直接积分法939.3球坐标系中赫姆霍兹方程的解矢势A的赫姆霍兹方程22∇A+kA=0在球坐标系中，赫姆霍兹方程为21∂2∂U1∂∂U1∂U2(r)+(sinθ)++kU=022222(9.3-1)r∂r∂rrsinθ∂θ∂θrsinθ∂ϕ式中U表示A的一个直角分量，A、A和A,然后，利用A、A和A投影的方法xyzxyz求出A、A、Aϕ。rθ利用分离变量法求解，将U(r,θ,ϕ)写成

2、三个函数的积U(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)式中，R仅为r的函数；仅为Θθ的函数，Φ仅为ϕ的函数。22将此式代入(9.3-1)式中并除以RΘΦ，乘以rsin(θ)22sinθd2∂R222sinθd∂Θ1∂Φ(r)+krsinθ+(sinθ)=−2Rdr∂rΘdθ∂θΦ∂ϕ上式等号左边仅与r、有关，等号右边仅与ϕ有关，可以假设θ21dΦ2=−m2Φdϕ2sinθd2dRsinθddΘ2222}(r)+(sinθ)+krsinθ=mRdrdrΘdθdθ上述方程组的第一式的解为Φ(ϕ)=Aco

3、smϕ+Bsinmϕ用2除以上面方程的第二式得到用sinθ除以上面方程的第二式，得到21d2dR221ddΘm(r)+kr+(sinθ)−=02RdrdrΘsinθdθdθsinθ由于这个方程的前两项仅与r有关，而后两项仅与θ有关，所以假设1ddR22221ddΘm(r)+kr=β(sinθ)−=−β2RdrdrΘsinθdθdθsinθ上面方程的第二方程式是缔合勒让德方程，它的解为mmΘ(θ)=CP(cosθ)+DQ(cosθ)nn式中，C和D是任意常数；β=n(n+1),n=0,1,2,⋅⋅⋅;

4、而m=0,1,2,⋅⋅⋅n.1d2dR22方程的第一式(r)+kr=βRdrdr可以写成下列形式2dR2dR2n(n+1)++[k−]R=022drrdrr这是球贝塞尔方程，它的解为1(1)R(r)=[AJ(kr)+BH(kr)]n1n1krn+n+22(1)J(kr)H(kr)式中，n+1和1是半奇整数阶第一类贝塞尔函数和第一类汉克尔函数。n+22球坐标系中赫姆霍兹方程(9.3‐1)式的通解为∞n1(1)U(r,θ,ϕ)=∑∑[AnJ1(kr)+BnH1(kr)](Acosmϕ+Bsinmϕ)kr

5、n+n+n=0m22mm⋅[CP(cosθ)+DQ(cosθ)]nn例题：均匀交变磁场中的球体h如图9.3.1所示。沿z轴方向的均匀交变磁场−iωt中有一导电导磁球体He0，球的半径是a，电导率是λ，磁导率是µ，球体周围媒质的电导率为λ，磁112导率为µ，求球内外的磁场。2选用球坐标系，以球心为原点。因为激发源是纯磁性的，用赫兹矢量来计算磁场比较方便，这是因为：h2h*h*H=k′π+∇∇⋅πh*由于外磁场是均匀的，它的赫兹矢量的散π度为0，故用赫兹矢量将外磁场表示为：h2h*H=k′π00hhH*

6、0π=02k′hh***可见，外磁场的赫兹矢量π只有z分量，因而π也只有z分量π。0z*π满足赫姆霍兹方程：z2*2*∇π+k′π=0zz*π关于z轴是旋转对称的，与φ无关，在球坐标系中，满足的赫姆霍兹方程为：z**1∂⎛⎜2∂πz⎞⎟1∂⎛⎜∂πz⎞⎟2*r+sinθ+k′π=0r2∂r⎜∂r⎟r2sin∂⎜∂⎟z⎝⎠θθ⎝θ⎠∞⎡⎤*1()1它的通解为：πz=∑⎢AnJ1()k′r+BnH1()()k′r⎥Pncosθn=0k′rn+n+⎣22⎦(1)(′)Hkr这里J()k′r是半奇整数阶第一

7、类贝塞尔函数，n+1是半奇整数阶第一类汉克尔1n+2函数。2*H(1)(k′r)在球内，由于r趋于0，有限，并且趋于无穷大，所以系数B必为0，π1nz1n+因而球内的通解为：2∞*An⎛′⎞()πz1=∑J1⎜k1r⎟Pncosθ（9.3.3）n=0k′rn+⎝⎠2在球外，同理，通解为：一次场∞BH*n⎛′⎞()0πz2=∑H1⎜k2r⎟Pncosθ+2（9349.3.4）n=0k′rn+⎝⎠k2′2A和B是待定系数，需利用磁场的边值关系来确定。nnH由于0项只有零级的勒让德多项式()cos=1，因

8、此，如果要满足Pθ20k′2边值关系，9.3.3和9.3.4式中的n必须限制在零级，即要求n>0时，A=B=0nn。这样，球内外的赫兹矢量为：A*=0J⎛k′r⎞πz11⎜1⎟k′r⎝⎠12*=B0()1⎛′⎞H0πz2H1⎜k2r⎟+⎝⎠2k2′r2k2′′2sinkr由于：J⎛⎜k′r⎞⎟=111⎝⎠π′2kr1′ik2r()1⎛′⎞2eH⎜kr⎟=−i12⎝⎠π′2kr2于是得到：′*sink1r（9.3.5）π=Az10r′ik2r（9.3.6）*eH0π=B