工程数学 赫姆霍兹定理.ppt

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1、1.7赫姆霍兹定理1、标量场标量场由其梯度(矢量)场和边界唯一确定。则：2、矢量场的类型无旋场、无散场、调和场和一般矢量场实际工程中，如何唯一确定一个场？1.7赫姆霍兹定理（1）无旋场旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产生的，静电场是其一例。由斯托克斯定理有即在定义域内无旋场沿任意闭合路径l的环量恒为零，可见无旋场就是守恒场。即PQmn两点间的任意两条积分路径由图中P、Q两点间的两条路径PnQ和PmQ，构成回路PnQmP，其上F(r)的环量可以写成无旋场的线积分与积分路径无关，仅与线积分起点和终点的位置有关。1.7赫姆霍兹定理由可以定义一个标量场这种形式的二阶偏微分方

2、程称为泊松方程。得的微分方程令负号意指某点的方向为该处取得最大减小率的方向。1.7赫姆霍兹定理在一定附加条件下（边界条件），由上式可求得(r)的解，再按(1.7.1)式解得F(r)，这是求解无旋场的基本方法。(1.7.1)2=b(1.7.2)（2）无散场1.7赫姆霍兹定理散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡源产生的，恒定磁场即是一例。由高斯散度定理，有即无散场在任意闭面S上的净通量恒等于零。可得无散场的二阶偏微分方程称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是：先解这个旋度旋度方程可得A(r)的通解，在一定附加条件下可得到特解，再按(1.7.3)式求出无散场

3、F(r).令(1.7.3)由可定义一个矢量位函数A(r)（3）调和场2=0调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。（4）一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、无散场以及调和场都是它的特例。1.7赫姆霍兹定理在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然，调和场的场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。由无旋性，引入标量位函数再由，可得3、赫姆霍兹定理在闭面S所包围的有限区域(单连域或多连域)V内，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界S上的法向分量Fn或切向分量Ft，则V内是唯一确定的。(1)唯一性定理：用反证法

4、证明，假定满足给定条件的矢量场有两个和，然后再论证这两个矢量场是相同的，即。令1.7赫姆霍兹定理赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。在边界S上，则有或由可引入标量函数(r)且有2=0(在V内）①②或1.7赫姆霍兹定理S为φ的等值面在V内，有根据条件①，可得对矢量函数应用格林第一公式，并考虑到在V内有2=0，1.7赫姆霍兹定理对于条件②，因故同样得到由于的非负性，意味着=0，即S面上φ相等（2）分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r)，可以分解为无旋的Fi(r)和无散或管形的Fs(r)两个部分，即F(r)=Fi(r)+Fs(r)设矢量场F(

5、r)的旋度和散度分别为可得1.7赫姆霍兹定理和引入和，分别满足和因此，一般矢量场可用和表示为已知在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件（矢量F唯一地确定）1.7赫姆霍兹定理