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1、高等代数习题册作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起，每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面或另加页1・1数域整数的整除性一填空题1.(681,542)=_____________________________2.最小的数域是________________.二证明题1.证明Q(i)={a+bia,beQJ=[-i}是数域.2.证明:是一个数F也是一•个数域环.吗?3•证明：两个数环的交还是一个数环.4.证明：bld,dHO,则IblSlai.1.
2、2一元多项式1.求=除以28M=X-3X-的商多项式和余式分别为________________________________________•2.设f(x),g(x)和加兀)都是实系数多项式，证明:若222f(x)=xg(x)+xh(x),则f(x)=g(x)=h(x)=O1.3整除的概念一、选择题1.在F[兀]里能整除任意多项式的多项式是().A・零多项式B.零次多项式C.一次多项式D.二次多项式2.下列对于多项式的结论不正确的是()•A.如果fMg(x),g(x)f(x),那么f(x
3、)=g(x)B•如果f(x)g(x),f(x)h(x),那么/(x)
4、(g(x)±/?(%))C.如果f(x)g(x),那么fh(x)eF[x],有/(x)
5、g(x)/?(x)D.如果f(x)g(x),g(x)h(x),那么f(x)h(x)二、计算与证明题4321.已知/(x)=x-4x-1,g(x)=x-3x-l^f(x)被g(x)除所得的商式和余式.2.令(x),f2(x),(x),g2(x)都是数域F上的多项式，其中齐(兀)工0且gi(x)g2(x)fSx)f2(x),/；(
6、兀)lg[(兀),证明：g2Mf2(x).k3.证明：xf(x)当且仅当xl/(x).d4•证明：x当且仅当din.1.4最大公因式一、填空题1.设g(x)f(X)，则/(X)与g(x)的最人公因式为____________.2.多项式/(x),g(x)互素的充要条件是存在多项式w(x),u(x)使得_______________.3.设d(x)为/(x),g(x)的一个最大公因式,则d(x)与(f(x),g(x))的关系为______________________•41224.i^f(x
7、)=x+x^ax+b.g(x)=x+x-2,若(/(兀),g(x))=g(x),贝Ua=___________,b=______________•,5.设fM,g(x)eF[x],若3(/(x))=0,d(g(x))=m,则0(/(x),^(x))=6.______________________________________________若gMf(x)y/?(x)
8、/(x),并且___________________________________________，则^(x)/?(x)
9、/
10、(x).二计算题1・设/(x),g(x)GF[x],gO)H0,且f(x)=g(x)q(x)+r(x)，举例说明(/W,g(兀))=(f(x),r(x))不成立.2求多项式/(兀)=4兀°一2兀3—16兀$+5兀+9,g(x)=2兀'-兀$一5兀+4的最大公因式d(兀),以及满足等式f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)的"(兀)和v(x).I=((x)8+(x)/'(x)8(x)/)嘟迥7=((x)7(x)/)朝E•((x)/d)i/+W(x)/)=(w(x)/)巾•((x)即+(x)/T
11、(x)Sq+(x)“)=((x)8x)J)早砸'闰日耳⑴小⑴/切孚月壬岸，o工％-皿耳rmpOqy、T•((x)S*(x)2/)=(仕)8'(r)v(x)/)些孵卞]戶00护库乡雎T=((x)Z'(x)/)帝II厂加想'[x]"m(x)厂⑴菽根7l•I=((x)8x)'/)确虚华韦立(x)8吐(x)/耳，(x)p=(W(x)/)畜曲:尙辿・(x)吆(x)p=(x)ZG)y(x)p=(x)/魏•【确加姒三1.5因式分解一证明题1.若pM,g(x)均为不可约多项式,且(p(x),g(x))Hl,贝
12、ij存在非零常数c,使得p(x)=cq(x).2.设卩0)是F[x]中次数大于零的多项式，若V/(x),g(x)eF[x]要p(x)lg(x)f(x),就有p(x)Ig(x)p(x)If(x),则0(x)不可约.223.证明：d(x)lf(x)当且仅当d(x)lf(x).1.6重因式一填空与选择题1.当a,/?满足条件_____________时，多项式f(.r)=x3+3ax+b有重因式.2.设"⑴是多项式/(兀)的一个R伙重因式，那么"(x)是/(兀)的导数的一个______重
