问题4.2平面向量中的范围、最值问题-2017届高三数学跨越一本线含解析

《问题4.2平面向量中的范围、最值问题-2017届高三数学跨越一本线含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2017届高三数学跨越一本线精品问题二平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其棊本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范］韦I的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范圉、最值问题的另外一种思路是数形结合.一、平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量方和/它们的夹角为&，把数量p

2、・”

3、cos&叫做方和乙的数量积（或内积）,记作打.即茴二间•同•cos

4、&,规定^6=0,数量积的表示一般有三种方法：⑴当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即打二冋•同・COS0；（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=（上,yi）,b=（出,y2）,则a・b=xx-i+yy-i^（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.【例1】在边长为2的等边三角形ABC中，D是的中点，E为线段AC±一动点，则EB•ED的取值范围为=x【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量丙,而分别表示，结合已知条件设疋（0

5、题意得，不与屈的夹角是是创的中点，设

6、近

7、=兀/.EBED(Ab-AE)=ABAD-(AB+AB)AE+AE^=2-ADf-3AD-AE+AEf=2—x+x2,由于E为线段AC±一动点，故0

8、CB.[2a/2-3,+oo)C.是椭圆才+专“上-点，过P作圆的两条切线,切点为A,则兀西的取值范围为3562，_9"【解析】设P(x,y),设乙CPA=ZCPB=0,C(l,0),

9、PA

10、2=

11、PC

12、2-1=(x-1)2+/-1=-x2-2x4-4’4I1_兀2_2兀+2=>sin&二==>cos2&=1-2sin彳&二-4,IPG丄宀2“4丄宀2兀+4441?1设/二一兀2_2兀+4=—(x—4)2,由又44cos2<9=(r-l)^^=f+

13、-3>2V2-3,r=V2,(PA*PB)min=20-3,(=9,阿•两)=^=>PAPB的取值范围

14、为2^2-3,—，故选C.7''ITI3X99设方=(兀,y),则同=捋=厲孑，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.—♦—♦—♦~—♦—♦TT—>—♦—♦—♦【例2】已知向量a,b,c满足a=4,b=2伍,a与b的夹角为(c-a)c-b)=-4则c-a的最大值为()(A)匕(D)V2+1【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用樂标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面儿何知识求最值或范围.【解析】设

15、OA=ci,OB=b,OC=c；以0A所在直线为x,0为樂标原点建立平面直角坐标系,a=4,h2妊：与讪夹角罟,则A(4,0),B(2,2)，设C(x,y)*•*(c—a)•(c—/?)=—1,x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,c-a表示点A,C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离；・・•圆心到B的距离为7(3-4)2+(1-0)2=V2,c—的最大值为V2+1,故选：D.【点评】建立直角处标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目标函数代表的

16、几何意义是解题关键.【小试牛刀1L2017届湖南师大附中高三上学期月考】己知乙厶为单位向量,且&丄5,向量乙满足c-ci-b=2,则同的范围为()A.[1,1+坷B.[2-V2,2+>/2]C.[72,2^2]D.〔3-2血,3+2冋【答案】B

17、刃冃a+n=V2=>2-V2<

18、c

19、<2+V2,故选B.a・ba•b三.平面向量夹角的取值范围问题设a=(x[,yi),h=(x2,y2),Ha.b的夹角为&，则cos&=~>T【例3】己知向量Q4与OB的夹角为――>->—>―»->―>I0,OA二2,OB二1,OP=/O&OQ二(1一f)OB,PQ在心时取

20、得最小值，当0v/()v—时，夹B.(7t兀、C.'兀2兀、D.I3丿b2丿(水3)1'3丿表示为变量t的二