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1、数学5第一章解三角形第1课时课题：§1・1・1正弦定理•教学目标知识与技能:通过対任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用止弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从己有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学牛•通过观察，推导，比较，山特姝到一•般归纳出正弦定理，并进行定理基木应用的实践操作。•教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应川。•教学难点已知两边和其中一边的对角解三和形时判断解的个数。•教学过程I•课题导入如图1.1-1,固定AABC的边CB及ZB,使边AC绕着
2、顶点C转动。八A思考：ZC的大小与它的对边AB的长度Z间有怎样的数量关系？/显然，边AB的长度随着其对ffjZC的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？BCII•讲授新课I探索研究］（图1.M）在初中，我们已学过如何解直角三角形，下而就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2,在RtAABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有—=sin,4,—=sin^ccA则亠=丄=厶sin/1sin〃sinC从而在Ti角三角形ABC屮，."=»=°sin/Jsin5sinC思考：那么对于任
3、意的三角形，以上关系式是否仍然成立?（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,当AABC是锐角三角形时,设边AB±的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=asin//=Z?sin则"=sin^sin/j同理可得一—=—Js1nCsinz>从而島二岛二佥（图1.1-3）思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。C由向量的加法可得AB=AC+CB（证法二）:过点A作丿丄同理，过点C作）丄就，可得bcsin3sinC/.csinA=«sinC,从而}
4、
5、^
6、cos(90(,
7、->4)=0+
8、}
9、
10、CB
11、cos(900-C)"sinCa_b_csin〃sin方sinC类似可推岀，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后口己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a_b_csinAsinBsinC［理解定理I（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使自=Wsib=ksinB,c=ksinC:(2)sin/lsin〃c等价于*=DsinCsinJsin〃sinCbsin〃3_CsinJsinC从而知正弦定理的
12、基木作用为:①己知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如盘=竺嘤;②已知三角形的任意两边与其屮一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin/l=
13、sin^ob一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。I例题分析］例］.在MBC中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°；根据正弦定理，u8O.1(c〃7)b_asmB_42.9sin81.8°-sinA-sin32.0°根据正弦定理,®74.1(c7n)._d
14、sinC_42.9sin66.2°6=sinA=sin32.0(,评述：对于解三用形中的复杂运算可使用计算器。例2.在MBC屮，已知a=20cm,b=28cm,71=40°,解三角形（角度精确到1°,边长精确至!jlcm）o解：根据正弦定理，sinB=bsinA28sin40°-20=0.8999.因为0°<^<180°,所以辰64°,或B716°.(1)当B«64°时，C=180°-(A+3)“80°-(40°+64°)=76°,c=asinCsinA20sin76°sin40°u30(C〃2)・⑵当BE16°时,C=18O°-(A+B)«18O°-
15、(4Oo+116o)=24o,^sinC_20sin24°C~sinA—sin40°评述：应注意已知两边和其中-•边的対角解三角形时，可能有两解的情形。［补充练习］己AABC中，sinJ:sin^rsinC=1:2:3,求a:b:c（答案：1：2：3）IV•课时小结（山学纶归纳总结）（1）定理的表示形式：-^=-^4=—=•「+穿•厂心〉°）sm^sin//sinCsin〃+sin〃+s丄nC'7或w=&sinS,b=ksinB,c=ksinC（A>0）（2）正弦定理的应用范国：①己知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的
16、对角。第2课时课题§1.1.2余弦定理•教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余
