立体几何中的最值问题答案

《立体几何中的最值问题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、立体几何中的最值问题线段长度最短或截面周长最小问题例1・正三棱柱ABC—AbG中，各棱长均为2,M为AA】中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.AuGMAiBiGA】解析:(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开,如图2.⑴从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AAi剪开，并展开,则MN=Jamsan?=Jr+(2+i)2=Vio则MN=VAM2+A7V2-2AM•cos120°=^l2+(V3)2+2xlxV3x

2、=*•*J4+VVWMNmin=J4+・例2•如图，正方形A

3、BCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF±移动，若CM=BN=^(0

4、"丁时’"NF即心分别移动珈CM中点吋,MN的长最小，最小值为鸣2(3)取MN的中点G,连接AG.BG,VAM=AN,BM=BN,AAG±MN，BG丄MN,AZAGB即为二面角a的平面角。又心BG斗,所以由余弦定理有COS6T=丄3故所求二面角a=arccos（--）。A例3・如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为&（0<0<色）。点M在AC上，点N在BF上，若AM二FN,⑴求（2）由⑴知：当"丁时’"NF即心分别移动珈CM中点吋,MN的长最小，最小值为鸣2(3)取MN的中点G,连接AG.B

5、G,VAM=AN,BM=BN,AAG±MN，BG丄MN,AZAGB即为二面角a的平面角。又心BG斗,所以由余弦定理有COS6T=丄3故所求二面角a=arccos（--）。A例3・如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为&（0<0<色）。点M在AC上，点N在BF上，若AM二FN,⑴求证:MN//面BCE;（2）求证:MN丄AB;⑶求MN的最小值.解析：(J如图，作MG//AB交BC于G,NH//AB交BE于H，MP//BC交AB于P,连PN，GH，易证MG//NH,且MG二NH，故MGNH为平行

6、四边形，所以MN//GH,故MN//面BCE;(2)易证AB丄面MNP,故MN丄AB;(3)ZMPN即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角，即ZMPN=0,设AP=x9贝0BP=a—x,NP=a_x,所以:MN=yjx2+(d-x)2-2x(q-x)cos&^2(1+COS^)(X——)2+—(1—COS^)t7~9故当"号时，MN有最小值書(1一cos%.例4•如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC±移动，点N在BF±移动，若CM=x,BN=y,(0

7、

8、MP丄面ABEF,所以MP丄PN,PB5P乎沁PBN中，由余弦定理得：PN2=(^-x)2+y24--V2xy?cos45°=^x2+y2-xy9在&△PMN中,MN=7mP2+PAT2=J(l-^x)2+*2+y2=Jx2+y2-xy-V2x+l(0

9、=¥时，MN有最小值芈且该最小值是异面直线AC,BF之间的距离。•••例5・如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时,最小值是多少?AB为最小,解析：设ZACD=0,则ZBCD=90°-0,作AM丄CD于M,BN丄CD于N,于是AM=bsin9,CN=asin9・AMN=Iasin6-bcos0I,因为A—CD—B是直二面角，AM丄CD,BN±CD,・・.AM与BN成90。的角，于是AB=J/?'sin?&+/cos?&

10、+(asin&-bcos^)?=^a2+/?2-cibsin20Ma2+b2-ab.•••当0=45°即CD是ZACB的平分线时，AB有最小值，最小值为JcT+b~—cib・例6.正三棱锥A-BCD,底面边长为a,侧棱为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值;(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截