立体几何中的最值问题.doc

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1、立体几何中的最值问题2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，查遍近几年全国各省市的高考题中，与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现，并且成增长趋势。下面举例说明解决这类问题的常用方法。策略一、公理与定义法SDCQBAPO例1、在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）A.B.C.2

2、D.1【解析】如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，等于OQ的长为，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。策略二建立函数法例2正的边长为，沿的平行线折叠，使平面平面，求四棱锥的棱取得最小值时，四棱锥的体积。BCPAQxyzo分析：棱的长是由点到的距离变化而变化，因此我们可建立棱与点到的距离的一个函数关系式，从而求出棱的最小值，进而求出体积。【解析】如图所示，取中点，显然，即由平面平面，则平面，如图建立直角坐标系，设5，因正

3、的边长为，易知，得即当时，评注：对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系；同时还要仔细观察翻折前后图形的性质。很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。策略三；解不等式法例3求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系。【解析】如右图所示，设正三棱锥高=h,底面边长为a由正三棱锥性质可知=，又知OA=OB=R则在Rt中，V==(当且仅当，即时，取等号)正三棱锥体积最大值为策略四；变量分析法例4如图已知在中，，PA⊥平面ABC，AE

4、⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，当AP=AB=2，，当变化时，求三棱锥P-AEF体积的最大值。分析：的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的，要求三棱锥P-AEF的体积，则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。5【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又∵BC⊥AC，PA∴BC⊥平面PAC，AF，∴BC⊥AF，又∵AF⊥PC，PC∴AF平面PBC，∴AF⊥EF∴EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴PE⊥平面AEF在三棱锥P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴，，，，∵，∴，∴当时，取得最大值为。策略五：展开体图法ABDC图5例5

5、.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）A.2aB.2bC.2cD.a+b+c【解析】如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各AA′DBCD′SS′PRQ侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且，，A、C、A’共线，D、B、D’共线，。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，最小，也就是四边形P

6、QRS周长最小。又，所以最小值。故选B。策略六布列方程法例6、棱长为2cm的正方形体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，5然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？【解析】：过正方形对角线的截面图如图所示，，设小球的半径，在，，∴∴，解得（cm）为所求。策略七、极限思想法【解析】三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0，若绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P,A,B,C共面时

7、，PA为菱形ABPC的对角线长度为第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重合时，侧棱取最小极限值，PO无穷大时，侧棱也无穷大。可知两题所问均无最值。策略八、向量运算法例8.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。【解析】以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据