立体几何中的最值问题答案.doc

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1、.立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1.正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.解析：(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则MN＝＝＝∵＜∴＝.例2.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（2）当为何值时，MN的长最小；（3）当

2、MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。..解析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴,,即,∴（2）由（1）知:，(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，ABCDEFGHPMN∴∠AGB即为二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有。故所求二面角。例3.如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上

3、，点N在BF上，若AM=FN,(1)求证:MN//面BCE;(2)求证:MNAB;..(3)求MN的最小值.解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G,NH//AB交BE于H,MP//BC交AB于P,连PN,GH,易证MG//NH,且MG=NH,故MGNH为平行四边形,所以MN//GH,故MN//面BCE;(2)易证AB面MNP,故MNAB;(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x,则BP=a－x,ＮP=a－x,　所以：，ABFECDPNM故当时，ＭＮ有最小值．例4.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且

4、平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x,BN=y,（1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=..，在中，MN=；（2）MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。例5.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D

5、在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析：设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为...例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时

6、的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a.(2)如图2，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF.∴BG＝＝＝a∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2.(3)∵V

7、A-BCD＝VB-ACD，而三棱锥B—AEF，三棱锥B—..ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即＝＝＝评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.二、面积最值问题例7.如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问

8、：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?解析：易知，ΔABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如图