4、g的取值范围为5、实对称阵A的秩等于厂，又它冇加个负的特征值，则它的符号差为r—2m二、简答题（每小题4分，共8分）1、设A是mXn的矩阵，其中m小于n,问齐次方程组AX=0是否一定有非零解,为什么？答：一定有非零解。（2分）因为R（A）Wmin（M,z?）=加Y〃二方程组AX=0的未知数个数，所以一定有非零解。（2分）2、设A是mXn的矩阵，设B是nXm的矩阵，mHn,是否一定有丨AB
5、=
6、BA
7、,为什么？答:不一定。（2分）因为AB是m阶方阵，而BA是n阶方阵，必有一个的行列式是0,但另一个的行列式不一定是0o三、_10例如：A=_101_,B=0101-12■3（2分）计算
8、题（一）（共19分）命题人-21（9分）、计算行列式_]515的值。组题人••10-21-21解：_1410-23201-25-135-13—7-81—7-81655162-10-85-162300—13223-161=-23322-13122=66-13=532-13513-202（10分）求矩阵-452-6-173-12-13组。的秩并写出列向量组的一个最大线性无关审题人••命题时间••解_2-135_13-20_13-20_13-202-1350-775-452-6>-452-6>017-6-6-173-1-173-10101-1所以,-135=—6+30+50+54=12
9、20,(2分)1（12分）、设4-1213-113-12，且=A+2X,求X「13-20」「13-20_0-7750-775cc…430101-I>001170101-1_0000_,（4分）»秩为3(2分)。35-202-6所以矩阵的后三列是列向量组的一个最大线性无关组。（2分）四、计算题（二）（共24分）"-323100_■11-1010(A—2E,E)=11-1010>-323100-110001-110001_11-1010__10-1-1/52/50_>0501300101/53/50_02-1011_00-1--2/5-1/51（2分）X=A(A—2E)_解：由条件得
10、X（A—2E）=A,1/51/52/53/53/51/50-1（6分）X=A(A—2E)_1=所以（A—2E）•3/53/51/5(2分)1「76-10「1290~542-5（2分）-10-12（12分）、用正交变换化二次型/为标准形,写岀所施行的正交矩阵，其屮f=X：_2兀；_2兀j_4兀1兀2+4兀1兀3+8兀2兀3其中A二-2求A的特征值：
11、心］'1-22-2-2424-2兀1_^3_-22_-24X=4-2933_1—2-22A-AE
12、=-2-2-A424-2-（3分）A（2分）XT=[x{x2x3]—(A—2)2(A+7)得特征值：=22=2説3=-7,（3分）得所施行
13、的正交矩阵P=1/血-%,正交变换为%（2分）X=PY五、计算题（三）（共22分）1（12分、已知方程组兀］+2x2一兀3=22%
14、—2^2+2兀3=—13兀］+兀。+(22—l)®=久问2取何值时，方程组无解、冇唯一解、冇无穷多解？冇无穷多解吋，求其通解。1解：系数行列式232-1-A2=-2(A当2=1时，表示矩阵勿=2+52-6)=-2(2-1)(2+6)(2分)122-1（2分）得：当久工1并且兄工-6时，方程组有唯一解；12-12_当2=_6时，表示矩阵勿=262-1——>31-13-6「12-12'12-12024-5>024-50-5-10-12_000-4%1R(
15、A)==2y3：=R(A),所以无解；（2分）2-12-12-1——>111「12-12~10%0_0-54-5>01—%10-54-5_0000有无穷多解，（2分）通解为ZkgR)MBMH0_-3_1+k405<0X—X32（10分）设42、-1是实对称阵,（2分）并且A有一个特征值4,求A的所有特征值。2、设A可逆，证明（A*）*=IA
16、心a（2分）（2分）（3分）（2分）（3分）B可交换。（2分）（2分）（2分）（2分）（2分）（2分）解：因为AT=A,所以y二一1又A有一
