函数的定义域与值域复习讲义与习题

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1、第五讲函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x)中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x∈A}叫做函数的值域。（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x∈（a,b）求f(x)的定义域，方法是：利用a

2、域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。②已知f(x)的定义域为x∈（a,b）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a

3、ogax值域Ra>0a<0{y

4、y∈R且y≠0}{y

5、y>0}R4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3)y=lg(ax-kbx)(a,b>0且a,b≠1，k∈R)7[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2)依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则ax-kbx>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x

6、}(Ⅱ)若0

7、}(Ⅲ)若a=b

8、>0，则当0

9、2x-1

10、)；(3)f(x+a)-f(x-a)(a>0)的定义域分析：根据若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b的解集，来解相应的不等式（或不等式组）解：（1）由0≤x2+x≤2得∴∴定义域为[-2,-1]∪[0,1](2)由│2x-1│≤2，得-2≤2x-1≤2所以定义域为（3）由得又因a＞0，若2-a≥a，即

11、0＜a≤1时，定义域为{x

12、a≤x≤2-a}若2-a＜a，即a＞1时，x∈，此时函数不存在变式:已知函数f(x+1)的定义域是[0，1]，求函数f(x)的定义域。[1，2]【例3】求下列函数的值域（1）（2）（3）（分析）（1）可分离常数后再根据定义域求值域，也可反解x求值域7（2）常数后再利用配方法求解，也可采用判别式法（3）可以用换元法或者单调性法解：（1）方法一：分离常数法∵由，得∴函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）方法二：反函数法由得，整理得：（y-2）x=3y+1，若y-2=0，有3y+1=0，与y-2=0矛盾若y-2≠0，有，∴y≠2∴函数的值域为{y

13、y≠2

14、}(2)方法一：配方法∵而∴∴∴函数的值域为方法二：判别式法变形得（y-1）x2-(y-1)x+y-3=0当y=1时，此方程无解当y≠1时，∵x∈R∴△=（y-1）2—4(y-1)(y-3)≥0，解得1≤y≤又∵y≠1，∴，∴函数的值域为（3）方法一：换元法令，则t≥0且∴∴函数的值域为方法二：单调性法函数的定义域在上均是增函数故在上是增函数∴∴函数的值域为变式1：已知函数f(x)的的值域是，求的值域。7解：∵,∴,∴令,则，∵,∴函数y=F(t)在区间上递增∴函数的值域为变式2：已知，求的值域【例4】（1）求的值域。（2）求函数的值域。（分析）（1）分段函数的值域的求法从局

15、部研究，把握局部和整体的关系（2）属复合函数y=f[g(x)]的值域问题，先由函数定义域求出u=g(x)的值域，再在此值域上求出y=f(u)的值域解：（1）若x≤1，则x-1≤0,0<3x-1≤1，有-2<3x-1-2≤-1，若x>1，则1-x<0,0<31-x<1，有-2<31-x-2<-1,综上有：{y

16、-2