2013年北京高考理科数学试题及答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。1.已知集合,,则( )A. B. C. D.2.在复平面内,复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“”是“曲线过坐标原点” 的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分与不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A. B. C. D.5.函数的图像向右平移个单位长度,所得图像与曲线关于轴对称,则( )A. B. C. D.6.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A. B. C. D.7.直线过抛物线:的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于( )A. B. C. D.8.设关于、的不等式组所表示的平面区域内存在点满足,则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.在极坐标系中,点到直线的距离等于 。10.若等比数列满足,,则公比 ;前项和 。11.如图,为圆的直径,为圆的切线,与圆相交于,若,,则 , 。12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一个人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 。(用数字作答)13.向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若(,),则 14.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,则点到直线的距离的最小值为 。三、解答题(共6小题,共80分。)15.(13分)在中,,,(1)求的值。 (2)求的值。16.(13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市,并停留2天。(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。(2)设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的分布列与数学期望。(3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)17.(14分)如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形,平面平面,,。(1)求证:平面(2)求二面角的余弦值。(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值。18.(13分)设为曲线:在点处的切线。(1)求的方程 (2)证明:除切点之外,曲线在直线的下方。19.(14分)已知,,是椭圆:上的三个点,是坐标原点(1)当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积。(2)当点不是的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由。20.(13分)已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后的各项,,的最小值记为,(1)若为,,,,,,,,,是一个周期为4的数列(即对任意,)写出,,,的值。(2)设为非负整数,证明:()的充分必要条件为是公差为的等差数列。(3)证明:若,()则的项只能是1或2,且有无穷多项为1.2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。)1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9. 10., 11.,12. 13. 14.三、解答题(共6小题,共80分。)15.(本小题共13分)解:(1)由正弦定理得 因为,所以 所以,即 (2)由余弦定理:得即 解得或若,则,因为,所以,,而所以16.(本小题共13分)解:(1)因为要停留2天,所以应该在3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其间重度污染的有两天, 所以概率为(2)的可能取值为0,1,2此人停留的两天共有13种选择,分别是:,,,,,,,,,,,,,即此两天中有0天空气质量为优良,分别为为,,,,所以,即此两天中有一天空气质量为优良,,,,所以,即此两天中有两天空气质量为优良,,,,所以所以的分布列为(3)因为第5,6,7三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。17.(本小题共14分)(1)证明:因为四边形是正方形,所以 又因为平面平面,平面 所以平面(2)解:因为,, 所以 所以,,两两垂直。 以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系如图 则,,, ,,, 设平面的法向量为, 则有,即,令得,,所以设平面的法向量为 则有,即,令得,,所以设二面角的平面角为,则有 又因为二面角为锐角,所以余弦值为(3)假设存在题设点,坐标为,则,, 设(),则,即,所以,因为,所以,即,解得所以18.(本小题共13分)解:(1),所以,即切线的斜率为 所以方程为 (2)只需证明且时,, 设 由得,由得 所以在单调递减,在单调递增。 所以当且时, 即当且时,,所以19.(本小题共14分)解:(1)因为四边形为菱形,所以垂直平分 而,所以方程为 对方程,令得,,
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