根轨迹绘制例题

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1、4.4控制系统根轨迹绘制示例规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称性和分支数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括0），则该点是根轨迹上的点4.4控制系统根轨迹绘制示例分离(会合)点分离（会合）点为方程:的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左

2、出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：与虚轴的交点令s=jw，带入闭环特征方程求w和kg。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。同左闭环特征根之和与之积同左根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。手工绘制控制系统根轨迹的步骤:标注开环极点“”和零点“”；○确定根轨迹的分支数；确定实轴上的根迹区间；确定n-m条渐进线；计算分离(会合)点；计算极点处的出射角和零点处的入射角；计算根轨迹与虚轴的交

3、点；利用前几步得到的信息绘制根轨迹。4.4控制系统根轨迹绘制示例例4.3.1已知反馈控制系统的特征方程是试绘制当kg从0→＋∞变化时的根轨迹。解：根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。系统的根轨迹方程为：系统的开环极点和零点为：根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终止于开环零点-z1，-z2处。实轴上的根轨迹区间为：[-4，0]根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。分离（会合）点：令代入方程有：s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点，应该

4、舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为：出射角：先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了-p1）到-p1的向量，并标出每个向量的相角，分别为a1,a2,b1。出射角为：根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：劳斯阵列如下：由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：实轴上根轨迹区间是：[-2，0]。渐进线倾角：与实轴的交点为：[例4.3.2]系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。标出四个开环极点：0，-2，-3±j4。有四条根轨迹。解：对于本例系统的根轨迹，题目中没有

5、指明kg的取值范围。通常，没有特别指明kg的范围时，按180o根轨迹绘制规则进行绘制。-3+4j处的出射角q1：根据对称性，可知-3-j4处的出射角为：与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时，。辅助方程为：，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。会合点与分离点（重根点）：分离角为由得：由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实数范围内变化时，最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.28

6、14.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可见分离点约为-0.8。绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis[例4.3.3]已知负反馈控制系统的开环传递函数为：试画出当-∞

7、开环极点数-开环零点数=1，所以根轨迹有一条渐进线。渐进线的倾角为：与实轴的交点为：分离（会合）点：由式可求得：在根轨迹上，是会合点。不在根轨迹上，应该舍去。根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：将s=jw代入其中并整理得：解得：2．当－∞≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+∞)渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条渐进线。渐进线的倾角为：分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上，应该舍去。s=-1.35是会合点。根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程:劳斯阵

8、列中没有全为零的行。故根轨迹与虚轴没有交点。[例4.3.4]：系统结构如图所示，绘制以τ为参变量的根轨迹，并讨论速度反馈对系统阶跃响应的影响。--解：⒈先求等效开环传递函数。此时系统特征方程为