微积分必考题

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1、微积分(B)上册必考题微积分的必考可能难题是：求极限，求积分，微分方程，证明等式和不等式，应用题（相关变化率，微分方程，元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题，此处难点在积分和微分方程的求解）一、极限求极限的几个原则:a.能先求的先求，能化简的化简，能等价无穷小替换就替换b.洛必达法则c.泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式（可采用倒代换）1.用四则运算求极限对于非未定式，考试有可能表达式看起来很难，但实际上直接带入求极限，别犯傻！2.用两个重要极限，这里只讲幂指函数极限幂指函数，且里面极限是1，

2、就可以凑一个“1+”，在用两个重要极限求极限时，若底数化成e指数出现了带有极限变量的乘积项，则可用倒代换化成分式。ó此时，令,就ó,用泰勒公式展开即可。3.等价无穷小的替换，实际上是泰勒公式的特殊情况，只不过就展开了一项。4.能求出的极限先求出来（其实也是泰勒公式的展开，只不过就展开了一个常数项而已）óó上面两个等价无穷小替换，下面有一项能先求出来。**先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样，必须是一个乘积项5.洛必达法则**用之前，判断未定式！！！上下项数不多，导数好求。缺点：比如sinx等等永远

3、无法用多项式表示，若遇到上下幂次很高，求导将变得十分复杂。如：三种类型对于，直接就能看出来6.泰勒公式把非多项式函数近似成多项式函数,用泰勒公式之前，先想想是否可以等价无穷小替换。缺点：展开式可能复杂，需要记忆如：下面显然可以用等价无穷小替换，而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可，需要记住这些：,有关泰勒公式的几个问题：1.o()óo()?2.o(x+1)óo(x)?3.o(2x)óo(x)4.?5.?6.小心：要在时才=0！想时的分式函数能用泰勒公式展开吗？二、求积分求某函数的原函数后，原函数必须在

4、与这个函数的同定义区间内可微。如f(x)=sgn(x)没有原函数（假设有，在x=0不可微），因此有：每一个有第一类间断点的函数都没有原函数。求积分的几个原则：1.基本类型2.照方抓药型(相差一个线性函数)3.dx型有sin找cos，没有现成的cos用半角公式，如：,用半角公式：===4.第二类换元法，一般换：根号下的，角频率中的，重复项，换元后回带第二类换元法开方出来小心绝对值根式代换：，倒代换（分母阶数较高），最小公倍数根式代换角频率代换：x=nt5.分数乘积化为部分分式代数和二次质因式配方首先，假分式

5、可以化为真分式6.使用分部积分三个典型的分部积分①若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u。②若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u③与出现循环序（每次要把相同的东西往微分符号中凑）除典型分部积分以外，还有这些要分部：①如果换元变成(),变为了典型的分部积分②有一大部分都可以往微分符号中放，如此题中的③,别无选择，只能分部7.观察直接凑微分8.积化和差公式定积分：几个常用定积分公式**观察积分区间和函数奇偶如，可以分出

6、一个偶函数，剩一个奇函数**直接利用图形面积:,半个单位圆**把极限式化为积分式：如果插入分点平均：*最常用：当a=0:再特殊的，b=1，就有……它表示曲边梯形面积的代数和，如果求曲边梯形的面积，那么要讨论f(x)与0的关系！以后看到类似的题，可以先把上面的通式写下来，对号入座找f。例：，乘法变代数和？架在e肩膀上！弄出.广义积分：极限符号一定要标出左右才不会出错！看清瑕点（邻域内无界的点），是否为广义积分？一些代数恒等变形：积化和差：角频率不同的函数的积倍角化为平方，一般凑(secx)^2，及d(tan

7、x)如：三、微分方程这里主要看微分方程的类型判断：a.一阶微分方程①先可化为,通过上下同除，或凑微分，看看是不是齐次方程齐次方程②把放到左边去，再找y的一次项。看是否是一阶线性齐次或非其次方程，或伯努利方程。如果不行，把自变量与函数，重复以上方法试试。③如果需要换元，前面积分的换元方法是一种思想。记住，换元是一种工具，不是求解特定题（积分）的套路。例：ó(步骤①)ó(步骤②第一句话)变成伯努利方程，判型成功利用角频率代换，令xy=u.那么对于ln等利用凑微分解微分方程，把x+y放到左边分子的微分符号中，因

8、为：，所以有了：,然后把(x+y)当做整体b.可降阶的高阶微分方程,观察即可判型：不显含x，就別添x，令不显含y，就別添y，令c.高阶常系数微分方程（齐次，非齐次）齐次，求特征方程的根，一项一项写：有一个单实根r：有一个k重实根r：有一对k重共轭复根：非齐次，一般，我们只会求二阶的特解：类型一：,则k取决于是特征方程的几重根类型二：，则k取决于是否为特征方程的根四、相关变化率应用题如何列方程？找所求，找已知，用微分形式表达，再