微积分必考题.doc

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1、微积分(B)上册必考题微积分的必考可能难题是:求极限,求积分,微分方程,证明等式和不等式,应用题(相关变化率,微分方程,元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题,此处难点在积分和微分方程的求解)一、极限求极限的几个原则:a.能先求的先求,能化简的化简,能等价无穷小替换就替换b.洛必达法则c.泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式(可采用倒代换)1.用四则运算求极限对于非未定式,考试有可能表达式看起来很难,但实际上直接带入求极限,别犯傻!2.用两个重要极限,这里只讲幂指函数极限幂指函数,且里面极限是1,就可以凑一个“1+”,在用两个重要极限求极限时,若底

2、数化成e指数出现了带有极限变量的乘积项,则可用倒代换化成分式。ó此时,令,就ó,用泰勒公式展开即可。3.等价无穷小的替换,实际上是泰勒公式的特殊情况,只不过就展开了一项。4.能求出的极限先求出来(其实也是泰勒公式的展开,只不过就展开了一个常数项而已)óó上面两个等价无穷小替换,下面有一项能先求出来。**先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样,必须是一个乘积项5.洛必达法则**用之前,判断未定式!!!上下项数不多,导数好求。缺点:比如sinx等等永远无法用多项式表示,若遇到上下幂次很高,求导将变得十分复杂。如:三种类型对于,直接就能看出来6.泰勒公式把

3、非多项式函数近似成多项式函数,用泰勒公式之前,先想想是否可以等价无穷小替换。缺点:展开式可能复杂,需要记忆如:下面显然可以用等价无穷小替换,而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可,需要记住这些:,有关泰勒公式的几个问题:1.o()óo()?2.o(x+1)óo(x)?3.o(2x)óo(x)4.?5.?6.小心:要在时才=0!想时的分式函数能用泰勒公式展开吗?二、求积分求某函数的原函数后,原函数必须在与这个函数的同定义区间内可微。如f(x)=sgn(x)没有原函数(假设有,在x=0不可微),因此有:每一个有第一类间断点的函数都没有原函数。求积分的几个原则

4、:1.基本类型2.照方抓药型(相差一个线性函数)3.dx型有sin找cos,没有现成的cos用半角公式,如:,用半角公式:===4.第二类换元法,一般换:根号下的,角频率中的,重复项,换元后回带第二类换元法开方出来小心绝对值根式代换:,倒代换(分母阶数较高),最小公倍数根式代换角频率代换:x=nt5.分数乘积化为部分分式代数和二次质因式配方首先,假分式可以化为真分式6.使用分部积分三个典型的分部积分①若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u。②若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函数或反

5、三角函数为u③与出现循环序(每次要把相同的东西往微分符号中凑)除典型分部积分以外,还有这些要分部:①如果换元变成(),变为了典型的分部积分②有一大部分都可以往微分符号中放,如此题中的③,别无选择,只能分部7.观察直接凑微分8.积化和差公式定积分:几个常用定积分公式**观察积分区间和函数奇偶如,可以分出一个偶函数,剩一个奇函数**直接利用图形面积:,半个单位圆**把极限式化为积分式:如果插入分点平均:*最常用:当a=0:再特殊的,b=1,就有……它表示曲边梯形面积的代数和,如果求曲边梯形的面积,那么要讨论f(x)与0的关系!以后看到类似的题,可以先把上面的通

6、式写下来,对号入座找f。例:,乘法变代数和?架在e肩膀上!弄出.广义积分:极限符号一定要标出左右才不会出错!看清瑕点(邻域内无界的点),是否为广义积分?一些代数恒等变形:积化和差:角频率不同的函数的积倍角化为平方,一般凑(secx)^2,及d(tanx)如:三、微分方程这里主要看微分方程的类型判断:a.一阶微分方程①先可化为,通过上下同除,或凑微分,看看是不是齐次方程齐次方程②把放到左边去,再找y的一次项。看是否是一阶线性齐次或非其次方程,或伯努利方程。如果不行,把自变量与函数,重复以上方法试试。③如果需要换元,前面积分的换元方法是一种思想。记住,换元是一

7、种工具,不是求解特定题(积分)的套路。例:ó(步骤①)ó(步骤②第一句话)变成伯努利方程,判型成功利用角频率代换,令xy=u.那么对于ln等利用凑微分解微分方程,把x+y放到左边分子的微分符号中,因为:,所以有了:,然后把(x+y)当做整体b.可降阶的高阶微分方程,观察即可判型:不显含x,就別添x,令不显含y,就別添y,令c.高阶常系数微分方程(齐次,非齐次)齐次,求特征方程的根,一项一项写:有一个单实根r:有一个k重实根r:有一对k重共轭复根:非齐次,一般,我们只会求二阶的特解:类型一:,则k取决于是特征方程的几重根类型二:,则k取决于是否为特征方程的根

8、四、相关变化率应用题如何列方程?找所求,找已知,用微分形式表达,再

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