协方差传播律及权

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1、第3章协方差传播律及权介绍协方差传播律公式及其应用，权的定义，定权的常用方法，协因数(阵)、权阵的计算，协因数传播律公式的应用，利用真误差计算中误差的方法，需重点掌握。退出数学期望的传播协方差传播律协方差传播律的应用权与定权的常用方法协因数和协因数传播律由真误差计算中误差及其实际应用本章主要内容3.1数学期望的传播3.2协方差传播律授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，掌握传播律公式的应用方法。重点、难点:协方差传播律公式的应用。3.1数学期望的传播当Xi相互独立时（i=1，2，…，n），返回3.2协方差传播律1.误差的传递（1）线性函数误差的传递

2、其中fi为常系数，f0为常数，观测值xi的误差Δxi为表示观测值xi的真值，而函数Y的真值为:顾及得线性函数的误差传递公式：设将代入上式按泰勒公式展开，取至一次项，并取函数的近似值为用观测值求得的函数值，得:令则非线性函数误差的传递公式为：（2）非线性函数误差的传递若有m个线性函数或m个非线性函数可以得到观测向量与其函数向量之间的误差传递关系式为当函数为非线性形式时，fij是一偏导数值，因Δ很小，可用相应微分值代替以上三式的矩阵形式表示为Y=FX+F0Y=F(X)ΔY=FΔX（3）函数向量误差的传递（1）协方差传递基本公式及应用设随机向量X的两个函数向

3、量为Y=F(X)Z=K(X)其误差向量为ΔY=FΔXΔZ=KΔX随机向量与其函数向量间的方差传递公式为：2.协方差的传递同理可证另外两式证明：例1设有函数Y=4x1-3x2-60,已知X(=)的方差阵为：试求Y的方差。解:将函数写成矩阵形式，即系数矩阵为:F=［4-3］Y的方差为：设有函数已知X()的方差阵为：试求Y的标准差σY。解:对函数式求全微分并写成矩阵式系数矩阵为由协方差传播律得：例2设Z=A1X+A2Y+A0,已知DX、DY和DXY.试求:1)Z的方差阵DZ;2)Z对X,Z对Y的协方差阵DZX和DZY。解:1)将函数式改写为:式中由方差阵的

4、定义，即可写出U的方差阵为:由协方差传播律得：例32)X、Y表达为同一向量的函数由协方差传播律得：设有函数X1、X2的协方差阵为D12，证明Y对Z的协方差阵为:证:将函数改写为:由协方差传播律得：例4若向量X中的各个分量xi(i=1，2，…，n)两两独立，即方差阵DX具有如下形式:而中系数矩阵为行向量则有（2）独立观测量函数的方差传递例三角形内观测角L1，L2，L3的标准差为σ，设Li之间互相独立，试求平均分配闭合差后的三个内角的方差。解:三角形闭合差为W=(L1+L2+L3)-180°平均分配闭合差后的三个内角为当i=1时有由题意知，Li之间互相独立

5、，故可得:同理可得当向量Z是向量X和Y的分块向量时，即时，向量的方差阵为:式中，DX.DY分别为X、Y向量的方差阵，DXY、DYX分别为X向量关于Y向量的协方差阵，且当DXY=0时,表示X与Y在统计意义上是互不相关的两个向量。（3）分块向量函数向量的方差传递作业：第三章习题1，2，7，8，9，11，18，19，20返回3.3协方差传播律的应用授课目的要求：掌握协方差传播律在测量上应用方法。重点、难点:测量上精度计算的方法及应用。3.3协方差传播律的应用1.水准测量的精度设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同，其方差均为,则具有N个测站的水准路线的总

6、高差为应用协方差传播公式可得平坦地区,设每公里测站数大致相等,则每公里观测高差的方差相等,S公里观测高差的方差和中误差分别为例水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm,则该水准路线长度不应超过多少公里？解：由公式可得答：该水准路线长度不应超过36公里。设L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值(方差均为σ2),其算术平均值为应用协方差传播公式得2.同精度独立观测算数平均值的精度例已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6"，如果要使各测回的平均值的中误差不超过±2"，则至少应测多少测回？解：由公式可得答：

7、至少应测9测回设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为由协方差传播律可得：即，观测结果的方差等于各独立误差所对应的方差之和。3.若干独立误差的联合影响4.平面控制点的点位精度如图所示导线,A为已知点，α0为AB方向的方位角，β为观测角，其方差为±4.0(″)2，观测边长S为600.00m，其方差为0.5cm2，试求C点的点位方差。解法一:由C点纵、横向方差求点位方差如图AC边上边长方差称为纵向方差，而在它的垂直方向的方差称为横向方差。横向方差是由AC边的坐标方位角α的方差引起的，由图知点位方差为解法二:由C点纵、横坐标方差求点位方差（1）、列函数式

8、，由图知:（2）、线性化（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式（4）、计算点位方差作业：