31协方差传播律及权6

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1、误差理论与测量平差基础测绘工程学院鲍建宽第3章协方差传播律及权3.18第三章协方差传播律及权第三章协方差传播律及权要求：掌握协方差传播律的意义、计算方法及应用；掌握权的定义和常用的定权方法；掌握协因数的定义及协因数传播律的应用。重点：协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律。第三章协方差传播律及权授课内容3-1协方差传播律3-2协方差传播律的应用3-3权与定权的常用方法3-4协因数与权阵3-5协因数传播律3-6由真误差计算中误差及其实际应用3-7系统误差的传播综合练习协方差传播律：描述观测量的精度(方差

2、)与其函数的精度(方差)之间关系的规律(公式)。§3-1协方差传播律一、概述直接观测量数值真误差精度(方差)观测量的函数数值真误差精度(方差)从测量工作的现状可以看出，观测值函数与观测值之间的关系可分为两种情况：⑴线性函数（如观测高差与高程的关系）⑵非线性函数(观测角度、边长与待定点坐标的的关系）因此，分别从线性函数和非线性函数两种情况研究协方差传播律。§3-1协方差传播律§3-1协方差传播律二、一个线性函数的方差设有观测值X,数学期望为μX,协方差阵为DX：X的线性函数:如何求Z的方差？为求Z的方差，我们需从

3、方差的定义入手。根据方差的定义，Z的方差为：由数学期望运算可得：将Z的函数式以及数学期望E(Z)代入得：则函数Z的方差为（公式1）以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律”。§3-1协方差传播律由上推导可得出以下结论：观测值X的协方差阵为DX，其函数为：方差(传播率公式)的纯量形式为：可见：若DX为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律”。例[1-2]在1：500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm,d的量测中误差σd=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差σS。解：练习题最后

4、写成:§3-1协方差传播律三、多个线性函数的方差阵设有观测值X,数学期望为μX,协方差阵为DX，若有X的t个线性函数为:表示为矩阵形式:如何求Z的方差阵？根据方差阵的定义，Z的方差阵为：由数学期望运算可得：将Z的函数式以及数学期望E(Z)代入得：（公式2）可以看出线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同;所不同的是：DZZ前者是一个函数值的方差（1行1列）;而后者是t个函数值的协方差阵(t行t列)。即：前者是后者的特殊情况。例4：已知向量，且：若有函数：并记，试求。练习题解：函

5、数式利用协方差传播律本题关健是：将函数式转换为“同一变量”L的形式。§3-1协方差传播律四、两组线性函数的互协方差阵设有观测值X,数学期望为μX,协方差阵为DX，若有X的2组线性函数为:如何求Z关于Y的互协方差阵？根据互协方差阵的定义,可得:再利用数学期望传播律，得：同理,可得:（公式3）例5:若有函数,已知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。解：故：练习题§3-1协方差传播律五、非线性函数的方差传播率设有观测值X,数学期望为μX,协方差阵为DX，若有X的非线性函数为:如何求Z的方差阵？即

6、解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的问题。非线性函数的线性化的方法是：---将函数按泰勒级数展开，略去高次项⑴泰勒公式如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开为当x非常接近x0时，则可以舍去二次以上各项，即线性函数⑵多元函数f(X)=f(X1,X2,…Xn)，X的近似值X0，按泰勒公式把f(X)在X0处展开,并略去高次项为和前述的线性函数形式一致若令：上式即为函数Z=f(X)

7、的全微分式，和前面的线性化函数的系数阵一致。即：用泰勒公式展开线性化非线性函数等价于对非线性函数两边全微分则，前式可表示为：例7：已知角度观测向量试求函数的中误差。练习题解：非线性函数两边全微分得：为什么除ρ″按方差传播律：中误差为：注：先取对数然后再全微分能简化计算。1）按要求写出函数式；2）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全微分；3）将函数式（或微分关系式）写成矩阵形式（有时要顾及单位的统一）；4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。归纳应用协方差传播律的计算步骤：§3-1协方差传播律应用协方差传播率

8、解决精度问题的步骤：1.确定观测向量X，及其方差阵DXX2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系若为非线性函数，则线性化（全微分即可）3.利用传播率公式计算注意单位统一。§3-2协方差传播律的应用一．水准测量的精度设水准测量中每一测站观测高差的精度相同,其方差均为,若某水准路线有N个测站，则其高差的方差和中误差为在平坦地区的水准测量中，每公里的测站数大致相等，因此，每公里观测高差