第十一讲 估计水箱水流量模型

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1、第十一讲估计水箱水流量模型一、问题的提出随着社会和经济的不断发展，环境和资源问题日益突出，水便是其中的主要问题之一。1997年联合国水资源会议曾郑重向全世界发出警告：“水，不久将成为继石油危机之后的下一个社会危机”。我国是一个缺水的国家，人均水资源拥有量仅为2150m3/a（按13亿人计），不到世界人均水平的四分之一，排在世界第109位。特别是“三北”（东北、华北和西北）地区和经济发达的沿海地区，水的供需矛盾已十分突出。有关资料表明，我国每年因缺水而影响工业产值已达2300多亿元。预计到本世纪末，全国年总需水量将达到700亿m3，而缺水量也将达到

2、70亿m3，水资源短缺已成为制约我国经济和社会发展的重要因素。某些地区的用水管理机构为了达到节约用水的目的，需估计公众的用水速度（单位是G/h）和每天总用水量的数据。现在许多地方没有测量流入或流出水箱流量的设备,而只能测量水箱中的水位（误差不超过5%）。当水箱水位低于某最低水位L时，水泵抽水，灌入水箱内直至水位达到最高水位H为止，但是也无法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一天灌水1～2次，每次约2h。试估计在任意法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一

3、天灌水1～2次，每次约2h。试估计在任意时刻(包括水泵灌水期间)流出水箱的流量，并估计一天的总用水量。表1给出了某镇中某一天的真实用水数据，表中测量时间以秒为单位，水位以E为单位。例如3316s以后，水箱中的水深降至31.10E时，水泵自动启动把水输入水箱；而当水位回升至35.5E时，水泵停止工作。本问题中使用的长度单位为E(=30.24cm）;容积单位为G(=3.785L(升))。水箱为圆柱体，其直径为57E.时间(s)水位(10-2E)时间(s)水位(10-2E时间(s)水位(10-2E)0317535932泵水685352842331631

4、1039332泵水7185427676635305439435355075021269710619299443318344579254泵水13937294746636335082649泵水179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232795572543087932703340285432752605743012322842697645542927表1真实用水数据二、问题的分析1.数据变换：水位与时间的关系转化为水箱中水的体积与时间的关系.2.探求水箱中水的流量与时间的函数关

5、。三、模型假设1．除了问题中特别说明的数据以外，其它给定的数据其测量误差不超过5%。2．影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需要。所给的数据反映该镇在通常情况下一天的用水量，不包括任何非常情况，如水箱中水的短缺、水管破裂、自然灾害等。由托里查里（Torricelli）定律，从水箱中流出水的最大速度与水位高的平方成正比。对于所给的数据，其水位的最大高度为35.5E，最小高度为27E，因此对两个高度的最大流速比为，这个数字已很接近1，所以可以假定水位对流速没有影响。类似地，还假设大气情况，温度变化等对水流速均无直接影响。3．水泵的灌水速度为常数

6、，不随时间变化也不是已灌水量的函数，因此假设水泵大约在水位27E时开始灌水，在水位35.5E时停止灌水。同时假设水泵不会损坏或不需要维护。4．从水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水速度。为了满足公众的用水需求不让水箱中的水流尽。5．每天的用水量分布都是相似的。因为公众对水的消耗量是以全天的活动（诸如洗澡、做饭、洗衣服等）为基础的，所以每日用水类型是相似的。6．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。每个用户的用水需求量与整个区的用水需求量相比微不足道，而且它与整个社区需求量的增减情况是不相似的。四、分析与建模引入如下记号：V、Vi—水的容积，时刻ti水的

7、容积G）；ti—时刻（h）；p—水泵的灌水速度（G/h）;T0—初始数据的当天测量时间;T—当天的时间（以24小时制）;f(t)—流出水箱的流速是时间的函数（G/h）;根据需要先将表2中的数据作变换，即，其中R表示水塔底面半径，L(t)表示时刻t时水箱的水位高度，秒（s）变换为小时（h），水位高变换为水的体积，得到表2。表2水量数据时间(s)水量(103G)时间(s)水量(103G)时间(s)水量(103G)0606.19.981/19.038542.60.921593.710.926/19.959528.21.843583.010.954677

8、.720.839514.82.950571.612.033657.722.015/3.871562.612.954639.522.958