2-2石大高数期末试题答案

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1、2010-2011答案一•填空题(共4小题,每小题4分，共计16分)711+1I3dx+dy2”Z3.2二•选择题(共4小题,1.C2・B3・C4每小题4分,共计16分)D三.1计算题(共8小题，每小题8分，共计64分)W：o2型~=2天人+2xy(x2/ii+/i2)+(^2/2i+fn)oxoy2xf+2x3#n+(2xj+x2)/12+/22L:<2.解：曲线x=x二丄“21T1)'=兀+1在点(1,2)处的切向量/一(1，2),a/512COS"腐,"祈力7C)7无1(1.2)=(3y2-1)1(1

2、,2)=11，—1(1,2)=(6xy+1)1(1,2)=13函数在点(1,2)沿亍=(1,2)方向的方向导数为STff(x+y)2clxdy=ff(x2+y2}dxdy+f^Zxydxdy3.解Dx2+y2<4x2+.y2<4=Yd厂+0=8龙(3)(2)4.解：由题意知密度函数Pgy.z)=kzW&WTT71Q<(p<-0

3、+y20+y2/z=g(x_y)dx+(y+x)dyff,dQ6P、7.[J-—Wvdx6■rjj[l-(-l)]clxdy=2兀x2+y2

4、—^d0^d(p^r^s(pdr~—7t解:幕级数的收敛半径R=l,收敛域为〔一1」）“o时，恥乍店:事也恋也x~^—dx=-x-ln(l-x)T-x兀=0时,s（o）=oln(l-x)「［小"［、/.S(x)=—xXG［—1,0)kJ(0,1)0x=0四•证明题（本题4分）证明：因为积分区域关于直线＞?=%对称，•••叶如y=£”（令+?）dxdyn+=71dxdy=-dxdy——2-dxdy+dxdy)五.解（1）山梯度的性质知，力（兀，刃在点"（々，儿）处沿梯度艸h（x°,儿）=（儿-2x（））f

5、+（x0-2y（｝）j方向的方向导数值最大,•……1g（xQ9yQ）=gradh（xQ9y0）=yj（yQ-2xq）2+（x0-2y0）2最大值为=伍+朮-陆儿.2(2)令/d,y)=g2(兀刃=5兀2+5；/_8兀),，则模型为jmax/(x,>9=5x2+5y2-8xy(约束条件：75-x2-y2+xy=0〕做Lagrange函数L(x,y)=5^2+5y2-Sxy+2(75-x2-y2+xy),得L；=10兀一8y+A(y-2x)=0,••-(1)

6、(2)L；=75—兀2_),2+兀),=o...(3)(1)⑵式相加可得(x+y)(2-久)=0,=>y=-兀或2=2.若2=2,由(1)=>》=兀,再由(3)=>x=±5語,y=±5侖.若y=—兀,由(3)=>x=±5,y=+52得4个可能的极值点(5-5),M2(-5,5),(5V3,5V3),M4(-5巧5巧),由幵(MJ=/(牡)=450,/(M3)=f(M4)=150,故A/】(5,-5咸(-5,5)可作为攀登的起点。2009-2010答案一、填空题(6x5分分30)1.13血2,2z3.J仙J'f

7、(x,y)dy+^dx^f(x,y)dye2一一(寸+》(％cos必+b“sin”x)_兀4.25.(73,劭6.2”=],3二、选择题(4x5分分20)1.A2.C3.C4.B.三、计算题(7+7+7+7+6+8=42分)1.解；令兀=灯2,1im/()‘,纱2)=__L^,•71+上故2y)在原点不连续(3分)./(心,0)=/((),△〉')=0,(5分)故/；(0,0)=/；(0,0)=0.(7分)2.解：作球面坐标变换，(2分)0

8、x2+y2+z2dxdydz=Jd0『sin©d©(rydr=(2-迈)兀.Q(7分）3.解：D/*+y2«2x锥面"«厂+*对X、y的偏导数分别为分）S=JJd$=JJJ1+Z；2+z；「dxdy则2X2+.y2<2X(6a/2JJdxdy=迈兀分)二a-2+/^2x(7分)4.解：设O为力所围立体，出Gauss公式,(2/=JJJ（/+），+才^IxdydzQ分）作柱面坐标变换，则0<^