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1、2017年高考数学（文）热点题型和提分秘籍专题33空何向量及其运算［高频考点解读】1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基木定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCD-ABXCD中，O为/C的中点。AB—>1—>1—>⑴化简：AQAB—卫D；⑵设E是棱DD、上的点，且岚=jDDlf若品=xAB+）^AD+zAAx,试求x、
2、八z的值。【解析】（iy：^+AD=AC,・•M10-鼻B-黑0=人10-=AO-AO=AAo⑵・・・云=云+£3=
3、^)+莎2.7~'I=§£)Q+㊁(£M+AB)=^AA+尹力+卫BL1—2_=qAB—^AD—^AAi,・112•"==•V=——.7=——【提分秘籍】空间向暈的表示方法用己知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出來。【举一反三】如图，在平行六面体ABCD~A}B}C}D}中，M为/C与BD的交点，若蕊=小品=b,Za=c,则下列向量中与必相等的向
4、量是（）B•刃+卫+c【解析】赢二氐+ilu兀+*越+屁)=A1A+^B1A1+A1D{)【答案】A热点题型二共线、共面向量定理的应用例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边MB、BC、CD、D4的中点,BD(1)求证：E、F、G、H四点共面;(2)求证：BD〃平而EFGH。证明：⑴连接则EG=EB+EGf1ff=EB+^BC+BD)—►―►―►=EB+BF+EH=EF+EH,由共血向量定理的推论知:E、F、G、H四点共而。—>—>—►(2)因为EH=AH-AE]—I—=^AD—^AB1TT1—>p(4D—4B)pBD,所以EH//BD。又EHu平-面EFGH,BIX平
5、面EFGH,所以BZ)〃平面EFGH。【提分秘籍】应用共线向量定理、共而向量定理证明点共线、点共面的方法比较:三点(P，A,3)共线空间四点(M,P,A,3)共面—>—>—>—>―>PA=/.PBMP=xMA+yMB>>»—>―>―>—>对空间任一点O,OP=OA+tAB(t为参数)对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB—>—>—►—>―►―►―►对空间任一点0,0P=(l-t)0A+t0B(t为参数)对空间任一点0,0P={-x-y)0M+x0A+y0B【举一反三】已知/、B、C三点不共线，对平面MC外的任一点0,若点M满足=^0A+0B+0C)o⑴判断爲，祈，说三个向量是
6、否共面；(2)判断点M是否在平血ABC内o【解析】(1)SOA+OB+0C=30M,•总乔-£)+(代-必，即恳二応+CM=-恳-MC.:.MA,MB,面。(2)由⑴知爲，MB.总共面，且共过同一点M,・•・四点M,A,B,C共面。从而点M在平面/BC内。热点题型三空间向量数量积的运算例3・如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是4B,4D,CD的中点，计算：(l)EF-^o—>—►⑵EGBDc【解析】设二6AC^bfAD=c,贝i_
7、
8、a
9、=
10、方
11、=
12、©=1,〈.a,b〉=Jb,t>=〈ga,>=60°°(l)EF=^b=^c-1二_尹EA=
13、_a,-所Da血=©-討(一a)=_刼<:+討=_扌+#=¥。—>—>—>―>1—>―>—>1—>—>(2)EG=EB+BC+CG=^AB+(AC-AB)+^AD-AC)=一如B+如C+*£>=—如+如+*c,BD=AD—AB—c—Ao所以EGBD=24丁4丁22_2C【提分秘籍】1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法:a'b=a\bcos〈a,〃〉。(2)坐标法：设a=(xp尹1，zi),b=(X2,尹2，Z2),则a-b=xx2+yy2+zZ2o2.利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a#0,b^Ofa丄b0ab=O。⑵阀=辰…、/八ab(3)co
14、sab)=j^
15、0【举一反三】已知力(1,0,0)，B(0,-1,1),OA+1OB与OB的夹角为120°,则久的值为()A.土普B平C.-普D.W604+203=（1,—儿久）,经检验Q晋不合题意，舍去，・・・Q—普。【答案】C1.【2016高考浙江文数】如图，已知平面边形4BCD,4B=BC=3,CD=1,ADY,ZADC=90沿直线MC将△/(?£)翻折成△ACD',直线/C与BD'所成角的余弦的最大值是.【答案】V
16、9【解析】如图，连接BD',设言线与妙所成
