2017年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 专题33 空间向量及其运算

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1、2017年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题33空间向量及其运算1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。→1→1→(1)化简：A1O－AB－；22→2→→→→→(2)设E是棱DD1上的点，且DEDD

2、1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x、y、z的值。3→→→【解析】(1)∵AB＋AD＝AC，→1→1→→1→→→1→∴A1O－AB－＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－2222→→→＝A1O－AO＝A1A。→→→2→1→(2)∵EO＝ED＋DO＝1D＋322→1→→2→1→1→＝D1D＋(DA＋AB)＝1A＋＋323221→1→2→＝AB－AD－AA1，223112∴x＝，y＝－z＝－223【提分秘籍】空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法

3、则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。【举一反三】→→如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，→→A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()11Aa＋b＋c2211B.a＋b＋c2211C.a－b＋c2211Da－b＋c22→→→→1→→【解析】B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BA＋BC)2→1→→＝A1A＋B1A1＋A1D1)21＝c＋(－a＋b)211＝－a＋＋c。22【答案】A热点题型二共线、共面向量定理的应用例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形AB

4、CD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH。→→→(2)因为EH＝AH－AE1→1→＝AD－AB221→→1→＝(AD－AB)＝，22所以EH∥BD。又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH。【提分秘籍】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：【举一反三】?????1→→已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM(OA＋OB＋3→OC)。→→→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在

5、平面ABC内。热点题型三空间向量数量积的运算例3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：→→(1)EF·BA。→→(2)EG·BD。1→1→1→111＝－AB＋AC＋AD＝－＋b＋，222222→→→BD＝AD－AB＝c－a。→→111121112－a＋＋c?·所以EG·BD＝?(c－a)＝a－·b＋·c＋－a·c?222?2222111111＝＋＝。244222【提分秘籍】1．空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cos〈a，b〉。(2)

10、坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2。2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0。(2)

11、a

12、＝a。a·b(3)cos〈a，b〉＝。

13、a

14、

15、b

16、【举一反三】→→→已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()666A．B.C．－D．6666→→【解析】OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝经检验λ＝【答案】C16＝－λ＝261＋2λ2不合题意，舍去，∴λ＝－。66λ＋λ1.【

17、2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5AB?5,AC?6，点E,F分别在AD,CD上，AE?CF?，EF交BD于点H．将?DEF4沿EF折到?D?EF位置，OD?（Ⅰ）证明：D?H?平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B?D?A?C的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；.由EF∥AC得OHAE1??.所以OH?1，D?H=DH=3.DOAD4于是D?H2?OH2?32?12?10?D?O2，故D?H?OH.又D?H?EF，而OH?EF?H，所以D?H?平面ABCD.????（Ⅱ）如图，以H为坐标原点，HF的方向

18、为轴正方向，建立空间直角坐标系H?xyz，则H?0,0,0?，2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，