人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版)

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1、三角詢叙的團像鸟徃质，◎大脑体操）一、三角函数的图像:1.正弦线：设任意了&作业完成情扇的终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作X轴的垂线，垂足为则有sina=^=MP,向线段MP叫做角。的正弦线，r2.用单位圆中的正弦线作正弦函数y二sinx,xe[0,2兀]的图彖（几何法）:把y=sinx,xe[0,2n]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2兀，就得到y=sinx,xER叫做正弦曲线1f(x)=O兀、^兀..兀5分、^6兀..xsin(x)3.用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正

2、弦函数y二sinx,xW[0,2n]的图象中，五个关键点是：1、用单位圆小的余弦线作余弦函数的图彖（儿何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数.在一般情况下，两个处标轴上所収的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.22现在把上述图象沿着X轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为271y=cosx,xER的图象，fy■……;乂-6nr4兀…、—f(x)=O7zLzC-27C7^.4兀...6k.xcos(x)3、正切

3、函数y=tanx的图象:根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tmx且兀北彳+尿(&wz)的图象，称“正切曲线”▲（。,。）即）5。）ig。）亠“兀…371在2k兀七》2k兀+[_22」上是减函数.在[2比r,2M+龙]上是减函数.对称性对称中心（乃F,0）兀对称轴x=k兀+—2（龙、对称中心k兀—,02丿对称轴X=k7T（bjr对称中心，012丿无对称轴竝典例讲豕）类曲一、三角函数的图像：例1.作出函数p=Jl-cos?兀的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函

4、数的图象。解析：y=Vl-cos2x化为^=

5、sinx

6、sinx（2k兀

7、sinx

8、的图象可分为两步完成，第一步先画出^=sinx,xe[0,刃和y=-sinx,xw（兀,2龙）的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。例2：y=cos（x+彳）,xe7117l解析:0T2*IT¥学1：«~S~尸10-10102-15类型二、三角函数的性质:例3.求下列函数的周期(1)y=sin—x2分析：该例的两

9、个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处解析：(1)如果令，贝ijsin-=sinm是周期函数，且周期为2龙•••sin(—x+2龙)=sin—x即sin[+(x+4龙)]=sin*x/.sin-的周期是4龙2练习：求下列三角函数的周期:1°y=sin(x+—)32°y=cos2x3°y=3sin(—+—)例:4.比较下列各组数的大小。75(1)sinl94°和cosl60°；(2)sin-和cos-；分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的人小。解析.⑴sin194°=s

10、in(180°+14°)=-sin14°cos160=cos(180一20)=-cos20=-sin70v0°<14°<70°<90°,/.sin14°-sin70即sin194>cos160(2)vcos—=sin(——一)323九•7龙53-<—<—+-<—71又2423275、5丿二sinx在[£,2]上是减函数•••sin—>sin(—+—)=cos—3233即sin—>cos—433兀・71•••cos——=sin—(3)88c3兀.3兀.兀:.0

11、—<1<—882而尹二smx在(0,兰］内递增<2丿sin(cos^)

12、即sin(———)—sin(———)>01810解：⑴T——<一10/、z23龙z17龙、(2)cos(—)、cos(—)•54/、/23龙、23龙3龙(2)cos(—)=cos555/17龙、17龙兀cos(—)=cos=cos—444713龙V0<—<—<7145cos=cos月•函数y=cosx,[0,”]是减函数・3冗兀•>cos——