人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版).doc

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1、三角函数的图像与性质一、三角函数的图像：1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线，2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用

2、弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数yxo1-1y=cosxxÎ[0,2p]的五个点关键是16(0,1)(,0)(p,-1)(,0)(2p,1)现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，3、正切函数的图象：我们可选择的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)二、三角

3、函数的性质:16函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴类型一、三角函数的图像：例1.作出函数的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。解析：化为16即其图象如图：点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。例2：解析：类型二、三角函数的性质：例3.求下列函数的周期（1）（2）分析：

4、该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为即的周期是（2）即的周期是。16练习：求下列三角函数的周期：1°y=sin(x+)2°y=cos2x3°y=3sin(+)4°y=tan3x例:4.比较下列各组数的大小。（1）sin194°和cos160°；（2）和；（3）和分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。解析：（1），从而即（2）又在［］上是减函数即（3）而在内递增点评：（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，

5、由自变量的大小确定函数值的大小。（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。练习：比较下列各组数的大小(1)sin(－)、sin(－)；(2)cos(－)、cos(－)．16解：(1)∵－＜－＜－＜．(2)cos(－)＝cos＝cos且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数cos(－)＝cos＝cos∴sin(－)＜sin(－)∵0＜＜＜π即sin(－)－sin(－)＞0且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数∴cos＜cos即cos－cos＜0∴cos(－)－cos(－)＜0例5.求下列函数的最大值和最小值（1）（2）（3）分析

6、：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。解析：（1）当时，当时，（2）当时，；当时，。（3），当时，；16当时，。点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。练习：求下列函数的定义域和值域：（1）（2）（3）例6：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性解：由得，所求定义域为值域为R，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数例6．求下列函数的单调区间：（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（

7、2）可画出y=－

8、sin（x+）

9、的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。（2）y=－

10、sin（x+）

11、的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。16一、选择题1．函数y＝sinax(a≠0)的最小正周期为π，则a的值为(　　)A．2B．－2C．±2D．[答案]　C[解析]　由题意，得＝π，∴a＝±2.

12、2．函数y＝sin(x－