2、am+a,=ap+a(l.3.等差数列的性质(1)等芜数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即=。3+。“-2=….(2)若｛□”｝、｛%｝分别是公差为d,/的等差数列，则冇数列结论{c+an}公差为d的等差数列(c为任一常数){eg}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an+an+k公差为2〃的等差数列伙为常数，RWN){pa„+qbn}公差为pd+qd'的等差数列3,g为常数)⑶｛a“｝的公差为d,则6/>0O｛a”｝为递增数歹!J；〃<0O｛a“｝为递减数列；d=0O｛a”｝为常数歹U.探要点•究所然［情境导学］在等差数列｛外｝中
3、，若已知首项©和公差d的值，由通项公式an=a｝^(n-)d可求出任意一项的值，如果已知％和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们继续探讨・探究点一等差数列通项公式的推广思考1等差数列的通项公式an=ax+(n~)d是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是-个猜想，那么，如何证明公式对所有正整数〃都成立？答(1)證加法：由等差数列的定义知：an—aH-=d(nN2,Cl2~Cl=d、如―02=〃。4_。3=〃r(/7—1)个•••ctn~an-=d>将以上(/7-1)个等式两边分别相加,可得a-ax=(n~)d,
4、即给=如+(〃一l)d.⑵迭代法:是等差数列，贝山Q”=Q"-i+d=a“-2+2d=a”-3+3〃=・・・=Q
5、+(刃一l)d.所以an=a+(n—)d.思考2己知等差数列｛a“｝的首项a和公差d能表示出通项q“=G]+(〃一l)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an?答设等差数列的首项为G],则切=%+伽一1)〃，变形得a｛=am—(m—)dy贝I」an=a[+(n—｝)d=a,n—(/n—｝)d+(n—)d=am+(n—ni)d.思考3对于任意的正整数加、刃、p、q,若m+n=p+q.则在等差数列｛a“｝中，am+a„与如+勺Z间有怎样的关系？为什么？答am
6、+an=ap+a(l.因为am+a,t=a+(m—)d+a+｛n—l)d=2a+(n+m—2)df而ap+a(/=“+⑦―l)〃+ai+(g—l)〃=2d
7、+(p+g—2)〃，又因加+n=p+q,所以a加+给=如+勺.小结(1)等差数列的第二通项公式：Q”二-+(n・m)d；(2)对于任意的正整数加、n、p、q,若m+n=p+q.^l在等差数列｛a“｝中,am+an与ap+aq之间的关系为am+an=ap+aq,例1在等差数列｛冷｝中，已知血=5,々=17,求数列的公差及通项公式.解因为心二。2+(8・2)〃，所以17二5+6d,解得d二2.又因aft=a2+(n・2)d，所以
8、给二5+(/?・2)X2二2〃+1.反思与感悟利用等差数列的第二通项公式及等差数列的性质，不难得出等差数列另外一些性质：⑴佃｝为有穷等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和都相等，且等于首末两项之和・⑵下标成等差数列且公差为tn的项ak,如山，加，…伙，加GN*)组成公差为加的等差数列・(1)若数列｛如和仮｝均为等差数列，则他±九｝,伽”+也｝(”、g为常数)也为等差数列・跟踪训练1已知方程(X2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根纟R成一个首项为+的等差数列，则m—n=•答案I解析由题意设这4个根为占,扌+〃，扌+2",3〃.则£+(*30=2‘・•・〃=*‘1357・•
9、•这4个根依次为右右右名.1773515.157•/盲乂犷石…盲X犷肓或"厉皿二花，m-"I二*.探究点二等差数列与一次函数的关系思考等差数列｛如的通项公式a=a,+(n-)d整理成禺关于〃的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y轴上的截距各是什么？答等差数列仇｝的通项公式变形为an=dn+a~d,其图象为一条直线上孤立的一系列点，d为直线的斜率，在y轴上的截距为a~d.例2已知数列仏｝的通项公式a=pn+q,其中卩、q为常数，那么这个数
