高二数学人教A必修5学案：12应用举例三含解析

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1、A第一章解三角形§1.2应用举例(三)【明目标、知重点】1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题2能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.填要点•记疑点1.方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.2.方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西60。，即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.3.三角形常用面积公式⑴三角形面积公式S=知.(2)三角形面积公式的推广S=absinC=bcsiih4=^casinB.(3)S=(d+b+c)r(r为三角形内切圆半径).探要点•究所然［情境导学］前面我

2、们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.探究点一测量角度问题例1如下图，一艘海轮从/出发，沿北偏东75。的方向航行67.5nmile后到达海岛然后从3出发，沿北偏东32。的方向航行54.0nmilc后到达海岛C.如果下次航行直接从/出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1。，距离精确到O.Olnmile)思考1在认真审题的基础上，你能讲述解题思路吗？答首先根

3、据三角形的内角和定理求出/C边所对的角Z4BC,即可用余弦定理算11]AC边,再根据正弦定理算岀AC边和AB边的夹角ZCAB.思考2写出例题的解题过程.解在厶ABC中，Z^5C=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理，AC^A^+Bd-lABBCcGsZABC=^/67.52+54.0i-2X67.5X54.0Xcos137°~113.15（nmile）・根据正弦定理'签沪缶sinZCAB=BCsinZABC54.0sinl37°AC113.15~0・3255,所以ZC45=19.0°,75°-ZGlB=56.0°-答此船应该沿北偏东56.0。的方向航行，需要航行113

4、.15nmilc.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角（方向角），再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪训练1在海岸A处，发现北偏东45。方向、距离A处（^3-1）海里的B处有一艘走私船；在力处北偏西75。方向、距离力处2海里的C处的缉私船奉命以1祸海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从3处向北偏东30。方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解若要最快追上走私船，则两船所用时间相等，假设在Q处相遇，设缉私船用r小时在Q处追上走私船，则有3=10>/

5、3/,BD=t.在厶ABC中，因为AC=2fZBAC=nO°,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2~2ABACcosZBAC=（V3-1）2+22-2X（V3-1）X2Xcos120°=6.所以BC=y[^（海里）,在中，由BC_ACsmZCAB=sinZCBAsinZCB4=,ZCBA=45°则BC为东西走向又因为ZCBD=90。+30。=120°在△3CD中，由正弦定理，得•BDsinZCBD10/sinl20。1sinZBCD=面=10^3Z=y所以ZBCD=30。.则BD=BC=y[6（^里），即10t=y[6，得/=書（小时）.即缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走

6、私船，最少用鲁小时.探究点二三角形的面积公式的拓展思考1N4BC中，边BC、CA、AB1.的高分别记为仏，加，hc,那么它们如何用已知边和角表示？答〃a=bsinC=csinB,A/>=csinJ=tzsinC,hc=asvB=bsxA・思考2将思考1中得到的结论代入三角形面积公式S=Lh,可以推导出怎样的三角形面积公式？答S=absinC,S=bcsin/,S=acsinB.例2在中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm2)(1)己知g=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5。；(2)已知B=62.7。,C=65.8°,6=3.16cm；(3)已知三

7、边的长分别为a=41.4cm,fe=27.3cm,c=3&7cm.解⑴应用S=casiM,得S=x23.5X14.8Xsinl48.5°^90.9(cm2).(2)根据正弦定理,岛益,尸釜,11.5=-/,csi^=-/r—1.?sinCsin^^=180o-(B+Q=180o-(62.7o+65.8o)=51.5°,S=x3.162Xsin65・8°sin51・5。sin62.7°^4.0(cm2).(3)根据余弦定理的推论，得c2+/—b238.72+41.42—27.32c