第六届大学生数学竞赛试题及答案详解

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1、■I*.j>■£>■!>■£>■!>vt>♦卜rj.rTw^Tw^Tw叫j♦卜k1^^j>•卜k!>k!>k!>k!>k!>k!>k!>■]"■[..[、彳、^yw彳、■I*.j>■£>■!>■£>■!>vt>♦卜rj.rTw^Tw^Tw叫j♦卜k1^^j>•卜k!>k!>k!>k!>k!>k!>k!>■]"■[..[、彳、^yw彳、叫、叫、k1^^j>•卜k!>k!>k!>k!>k!>k!>k!>■]"■[..[、彳

2、、^yw彳、叫、叫、k1^^j>•卜k!>k!>k!>k!>k!>k!>k!>■]"■[..[、彳、^yw彳、叫、叫、k1^^j>•卜k!>k!>k!>k!>k!>k!>k!>■]"■[..[、彳、^yw彳、叫、叫、k1^^j>•卜ln(l-x4)6.1imdl-cos(l-cosx)]1•求1曲(XT0[_八X试确定常数a.b.c•沈阳师范大学第六届高等数学竞赛试题II:(考试时间：12

3、0分钟满分:100分)II:一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分):1.曲线y二渐近线的条数为().:X—1I:A.OB.1C.2D.3I:2.设函数门X)在(yo,+oo)内连续，其导函数图形如下，则兀力有().I:4・一个极小值和两个极大值〃・两个极小值和一个极大值：：C.两个极小值和两个极大值D•三个极小值和一个极犬值I::人・(八兀+y)dyB./(兀+历一/(兀+。)C・/(x+d)D・/(x+b)IIi开2y22.0:4•设门x,y)=

4、y)在点(0,0)().:(),宀〉,2=()II:4・不连续B・连续但偏导数不存在C•可微D・连续且偏导数存在但不可微.II;兀9:5•设函数")连续，贝匸次积分pd&[f(r2ydr=1JOJ2cos&ii(I：71•加心氏加恰“2+b)〃y二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分)7•牛Lf(eJ］=x,则广(兀)二•axv^3"4--L18.设y(x)*■:确定，则y=y(x)向上凸的兀取值范围为y=F_3f+l^9.设u=Qsin-,则穽在点(2,丄)的值为.ydxoy711

5、0.微分方程$+xy2=0的通解为・dx三、计算题(本大题共6小题，每小题10分，总计60分)pxY<0*12•设函数/(x)=；且厂(0)存在,ax^+bx+c,x>013.已知沁是函数/(兀)的一个原函数，求{x3fx)dx.XJ14.已知函数z=/(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且于(1,1)=2.求/(x,y)在椭圆域D={(x,y)/+—<1}上的最大值和最小值.415、设区域D={(x,y)x2+y20},计算二重积分I=/Av

6、16.(I)证明拉格朗Fl屮值定理：若函数/(Q在［"］上连续，在(恥)内可导，则存在兵(a,b),使得（II）证:若函明数在处在（o,w>o）内可导，且limfx）=AxtO+则/r（o）存在，nr（o）=人沈阳师范大学第六届高等数学竞赛试题答案解析一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1、C2、C3、B4、D5、B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1-82>lnx—8,1)4、(―)2e三、计算题（本大题共6小题，每小题10分,51卩丄兀SC2总计60分）（

7、C为任意常数）1、解:lim(xtO—丄)=lin/+"j+八xsox(l-ex)•YTO2xxtO2—2分—3分-3分2分2、解：由条件可知函数于(兀)在x=0处连续，故c=/(O)=l.2分“，x<0,2ax+b,x>0ex<0;2ax+1,x>0,由条件可知广（切在x=0处连续，且厂⑴=故b=T(O)=l.因此fx)=pXY<01，，,故2a=f"(0)=1,则a=—.2°,x>02c皿亠叶五亠、zsecx.,secx(xtanx-l)3、解:由题意冇/(x)=()=XX原式=x3/(

8、x)-3jx2/(x)dx=x3f(x)-3^x2dsecx,2-11/Xsecx

9、secxdx)=xsecx(xtanx-4)+6In

10、secx+tanx+C.44、解:dz=2xdx-2ydy=d(x2-y2+C),于是z=f(x,y)=x2-y24-C,再由/(1,1)=2,得02,故f(x,y)=x2-y2+2.令fx=2x=QJy=-2y=0得可能极值点为(0,0),且/(0,0)=2再考虑其在边界曲线F+二=1上的情形：42令拉格朗日函数