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《1.3.3 函数的奇偶性 课件（人教A版必修1）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.3函数的奇偶性1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．基础梳理1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．例如：判断下列函数的奇偶性：①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的
2、一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．例如：若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.偶函数奇函数非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数0思考应用1．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．2．若函数f(x)满足f(－1)＝f(1)，能否判断函数f(x)为偶函数？解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x都有f(－x)＝f(x)，不能用特殊性代替任意性．自测自评1．奇函数f(x)图象一定过原点吗？
3、答案：当f(0)有意义时，由f(－0)＝－f(0)得：f(0)＝0;当f(0)没有意义时，如函数f(x)＝，它的图象不过原点．2．函数y＝是偶函数吗？为什么？答案：不是；因为定义域不关于原点对称.3．设函数f(x)＝x
4、x－a
5、＋b是奇函数，求实数a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x
6、x－a
7、＋b为奇函数，所以f(0)＝0，f(a)＋f(－a)＝0，解得a＝b＝0.判断函数的奇偶性判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．分析：先求定义域，再判断f(－x)与f
8、(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)因为函数
9、的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提．跟踪训练解析：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝
10、－x＋1
11、－
12、－x－1
13、＝
14、x－1
15、－
16、x＋1
17、＝－(
18、x＋1
19、－
20、x－1
21、)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(2)由于≥0，得－1≤x＜1，其定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－
22、x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．奇偶函数的图象及应用(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D.(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是_____．解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－
23、a，－f(a))也必在其图象上．(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜2.∴f(x)＜0的解集是{x
24、－5≤x＜2或2＜x≤5}．答案：(1)C(2){x
25、－5≤x＜2或2＜x≤5}跟踪训练2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－
