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1、典型例题分析（1）关于行列式的概念和基木性质的命题1.设四阶方阵4=（々/）4x4，fM=xE-Af其中E是4阶单位阵。求：①/的系数：②2的系数；③常数项。解：f（x）=xE-A=-a2_°31_51X—^22一。32_血2_°23x~a33_53_血4_勺4X—^44为4阶行列式,它的每一项应是取口不同行和不同列的四个元索的乘积，因此①含/的项为:（兀一©1X兀—©2）（兀一°33X"—。44），可见/的系数为1。②含兀3的项为:_°11（兀_^22）（兀_a33）（兀_°44）一a22（兀一。11）（兀一旳3）（兀一。44）一。33（兀一1）（兀一a22）（兀一。
2、44）_6/44（兀-1）（兀一说2）（乳_a33）3.4可见x'的系数为—工cijj=—（d]]+。22+。33+。44）°i=j=l③常数项即为%=0时几兀）的值:/（o）=
3、-a
4、=（-i）4
5、a
6、=
7、a2.设四阶矩阵A=（g,了2,丫3、了4），B=（0,灼，冷，〃），其中%0，72,73,丫4均为4为维列向量，且已知行列式
8、A
9、=4,
10、B
11、=1,求行列式A+B的值。解:A+B=（q+0,2灼，2/3,2儿0A+B=Q+0,2/2,2/3,2/4=80+0,灼，了3,沟卜8@,灼,了3,加+
12、0，厂2』3,加）=8(4+l)=40o思考：设A为4阶矩阵，且4=2,把A
13、按列分块为A=（Ab边，角，人4），求行列式
14、一人2，*1，-人4，一角］的值。（答案：2）设A为三阶方阵,"为伴随阵，恥・；$计算（*矿5*。解：因为AA"14a)-1-8A*3A"1-A-1—2A"13”，所以64o4.设A=(的)3x3‘A#为切的代数余了式，且Ajj=eq,并且a{iH0,求A解:因为A*=(Aji)3X3=(ajj)3X3=AT,所以A*
15、=AT=A乂
16、卅
17、=国"T皆故
18、A
19、2=
20、A
21、=>
22、4
23、(同一1)=0=>
24、4
25、=0或IA
26、=1乂因为同=QiA]]+©2人12+©3人13+。14州42222cAy=ClijCl
27、+。22+。33+。44(•
28、^11H°)所以
29、a
30、=i。5.计算下列行列式Djbccla-dcda-b-cba22211已知3124511122②1234543150求力31+人32+血3与人34+角5°/+”+(?+护000解：①l^=dB=0c?+2+/00000000=(a2+b2+c2+円D=±(a2+方2+c・2+d2)2由于D中的系数为1,^P=（tz2+/?2+c2+t/2）2o②根据行列式按行展开的性质:某一行元素乘以其它行元素的代数余子式的和为0,故有2（角1+人32+角3）+（角4+角5）=°（人31+人32+力33）+2（角4+角5）=。解上两个等式得：A31+A32+A33=°，人3
31、4+人35=0。（2）〃阶行列式的计算由于行列式的计算方法很多，但貝-体到一个题用什么方法求解往往不是一件容易决定的事情，我们不从方法的角度去进行分析，而是从行列式的特征去进行归纳,掌握了行列式的特征，也就自然找到了求解方法。特征一：非零元素特別少（一般不多于2n个），可以直接利用行列式的定义求解。6.计算下列行列式<010…0、ah0...00002…00ab...00①,②000...n-1000...ab00-°)b00...0a解：①此行列式恰好只有〃个非零元素^12,a23，...,an.ln,6/rtl,故非零项只有一项：。12&23・・・an・ln，又"23..”1
32、）=斤一1,因此010...0、002...0••••••••••••••=(-l)"T12・・a-"=(-1)—5000…n-1n00...0②由行列式的定义知，此行列式的非零项只有两项Q1W22…％和a2a23'''an-anah0...000ab...00000...abb00...0a故(_1)7(12.q...q*(_])(23…加)佥.”.小特征二：所有行（或列）对应元素相加后相等的行列式，这吋可把第2至第刃行（或列）加到第一行（或列），提取公因子后再计算。7.计算〃阶行列式abb…bbab…bDn=bba…b•••b•••b•••b••••••…a［分析］所
33、冇行对应元素相加后都等于Q+S-10,所冇列对应元素相加后也都等于d+s—l）b，符合特征二。解：将第2列至第斤列加到第一列，然后提出共因子d+S-l）b,则a+(n-)hhb…ba+(n-V)bah…bDn=a+(n-V)bba…ba+(n-V)bhb…a1hh…1ab…=[(7+(/1-!)/?]1ba…1hh…再将笫一行的(-1）佯1bb••-b0a-b0・•-0Dn=眩+（〃一0•••0aaaa-b・■••■'•-0aa•••▼000•…a-bbbb••a加到下面各行，
