高三数学平面向量与空间向量类比

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1、平面向量与空间向量类比平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果．本文以向量的线性表示为例（例1与例2）作简单介绍．例1已知：如图1，在平面中，与的夹角为与的夹角为，．用表示．解法一：．设，则．①同理由，可得．②由①②，可得．解法二：如图2，以所在直线为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，则．设，则．解得．解法三：如图3，作平行四边形OMCN，设，由正弦定理得（过程略）．例2　已知：正四面体中，，点O在底面上的射影为G，试用向量表示．解法一：如图4，∵OA=OB=OC，∴点O在底面的射影点G为

2、△ABC的中心．取AB的中点D，则DG=DC．∵，又∵，∴．故．解法二：如图5，以点O为原点，建立空间直角坐标系，设，由定比分点坐标公式，可得点G的坐标．．解法三：如图6，作平行六面体，使得正四面体为其一个角上的小三棱锥，则．可证（过程略）．提起空间向量，许多同学会习惯于空间向量的直角坐标运算，忽略了空间向量本身的应用．2005年全国高中数学联赛第2题（例3），是利用空间向量（不建立空间直角坐标系）解立体几何问题的典型，应培养空间向量的应用意识．例3　如图7，空间四点满足，则的取值（　　）（A）只有一个　　（B）有两个（C）有四个　　（D）有

3、无穷多个此题设计精巧，构思奇妙，其来源于课本习题（具体化，并向空间推广），思维含量颇高．试题组提供的解答过程比较麻烦，此处从略．课本上有这样一道习题：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．这道习题有很多种证明方法，向量法简证如下：设则，条件即，展开整理可得，即，也就是，从而．上述证明与四边形ABCD是平面图形还是立体图形无关，该结论也适合于空间问题．该试题可追溯到一道匈牙利数学竞赛试题：证明四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和的充要条件是它的两条对角线互相垂直．该联赛试题的解答可简化为：由，则．故此

4、题选（Ａ）．