24.1.2垂直于弦的直径.1.2垂直于弦的直径教学设计1（陈树生）doc

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1、§24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计上杭县旧县中学陈树生【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径（新人教版九年级数学教材P81~P83）【教学目标】1.理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论。2.能运用垂径定理解决一些实际问题。【教学重点】垂径定理及推论。【教学难点】垂径定理的应用。【教学方法】探究发现法。【教具准备】圆形纸片、多媒体、三角板、圆规。【教学设计】　一、教学活动设计：二、教学过程设计：（一）实例导入，激疑引趣1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省

2、赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的智慧结晶。⌒2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为376米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1）（二）尝试诱导，发现定理1．复习过渡：①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？②

3、如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分叫什么？③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？(a)(b)（图2）（图3）2．实验操作：（1）让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。（2）作直径CD，再作⊙O的一条弦AB，使AB⊥CD，垂足为E；将⊙O沿着直径折叠。通过操作，你能发现相等的线段有，相等的弧有.3．提出猜想：根据以上的探究，我们可以大胆提出这

4、样的猜想——∵CD是⊙的直径，∴EA＝EB，＝，＝．三、引导探究，证明定理1．验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。6①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2．归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3．巩固定理：在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们

5、是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。(a)AB⊥CD于E(b)E是AB中点(c)OC⊥AB于E(d)OE⊥AB于E（图4）向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。4．延伸定理请问：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？l垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．用几何语言表示：如图3，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.∴CD⊥AB，＝，＝．思考：①这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？②为什么要求“弦不是直径”？否则会出现

6、什么情况？（举反例说明）思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来.归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论.（四）例题示范，变式练习1．运用定理进行计算。【例1】如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。6（图5）分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以要连结OA。解：（略）【变式】在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6

7、cm，则AB=。【思考】若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则r、a、d三者之间的关系式是。【试一试】你能用垂径定理求出赵州桥的半径吗？2．运用定理进行证明。【例2】已知：如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD。（图6）分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。证法二：过点O作OE

8、⊥AB于E，用“垂径定理”证明。注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注2：辅助线“过圆心作弦心距”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。【证一证】教材P83练习第2题如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.求证：四边形为正方形。（五）当堂评测，反馈矫正1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC,垂足为D，已知