24.1.2垂直于弦的直径.1.2 垂直于弦的直径

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1、24.1.2垂径定理教学目标：1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.教学重点与难点：重点：探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．难点：运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．教学过程：一、复习回顾，开辟道路我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．(1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?与

2、同伴说说你的想法和理由．处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.我们组将这个图沿着直径CD折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，与重合，与重合，所以等量关系有:AM=BM,∠CMA=∠CMB=900，∠DMA=∠DMB=900，=，=．（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．设计意图：在教师的引导下探究了垂径定理

3、，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．二、例题讲解，学以致用已知：如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．处理方式：求证：AM=BM，=，=证明：连接OA，OB，则OA=OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM．∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.∴=与.∵∠AOD=180°-∠AOC,∠BOD=180°-∠BOC∴∠AOD=∠BOD°.∴=．处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题

4、的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.三、尝试成功，探究创新活动内容：还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于M．（1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．处理方式：类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选

5、派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书）它和垂径定理有什么区别？设计意图：在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．四、例题讲解，学以致用活动内容：例1如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝

6、90m，求这段弯路的半径．处理方式：让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，解：连结OC，设弯路的半径为rm，则OF＝(r－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即r2＝3002＋(r－90)2，解这个方程，得r＝545．∴这段弯路的半径为545m．设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学

7、生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．五、巩固提升展示自我活动内容：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或