24.1.2垂直于弦的直径（1）教学设计.1.2垂直于弦的直径（教学设计）

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1、24.1.2垂直于弦的直径黄岩城关中学王建教学目标：1、理解并掌握垂径定理及其推论，并会用来解决简单的问题2、经历操作、观察、猜想、验证、运用的过程，增加学习数学的经验；3、在定理的运用时，让学生经历了多题归一和一题多解过程，渗透模型化思想，培养知识运用的灵活性教学重点：垂径定理及其推论教学难点：定理与推论的运用教学过程设计：一、问题引入你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2，你

2、能求出赵州桥主桥拱的半径吗？21教育网将问题抽象为右图图形，已知CE=7.2，AB=37.4，求圆弧所在圆的半径.学完这节课，我们再来解决这个问题.二、定理探究（说明：探究垂径定理环节是通过折纸圆的操作，基于轴对称性得出命题，这样合情推理得出的结论学生易于接受，接下来的证明就很自然）操作1把一个纸圆沿着任意一条直径所在的直线对折，你能发现什么？再重复几次，由此你能得出什么结论？归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.操作2在纸圆上任意作⊙O的一条弦，再作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，思考以下问题

3、：（1）它还是轴对称图形吗？对称轴是什么？（2）沿对称轴对折，你发现有哪些点重合？（3）图中有哪些相等的线段和弧？（4）这个问题给我们的已知条件是什么？请用符号表示出来.有已知条件：CD为⊙O的直径，CD⊥AB可以得出以下结论：AE=BE,=,=（5）根据上面的条件和结论，你能得出怎样的猜想？请用命题的形式表述.先让学生表述，教师再补充完整：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧.操作3如何证明这个命题？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧.（说明：定理的证明是两种推理的结合：平分弦可以演绎推理，而

4、平分弧是合情推理）操作4解析、理解定理（1）下列图形符合垂径定理的条件吗？说明垂径定理中CD为⊙O的直径与CD⊥AB两个条件缺一不可.（2）如图，当直径CD改为下列各种情况时，垂径定理还适用吗？从上述情形可以发现，条件“CD为⊙O的直径”的实质是“CD过圆心”，我们可以把它们叫做“直径的代表”.（其中线段OE的长叫弦心距）（说明：操作4分两步理解性质的条件,不但要理解两个条件缺一不可，还要理解条件CD是直径的广泛意义，利用不同的图形归结为一点，就是过圆心）操作5如果将垂径定理的条件CD平分AB与结论CD⊥AB交换，还成

5、立吗？即CD为⊙O的直径CD⊥ABCD平分AB=,=学生容易想到用全等证明，但是用命题来表述时一般会考虑不完整.提出命题：平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.教师提问：这个命题正确吗？如果不正确，请举反例说明.归纳：（垂径定理的推论）平分不是直径的弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.（说明：垂径定理中的五个特征可以知二推三，形成至少7种真命题，但只有上述推论存在特殊情况，这可能就是教材只概括这个推论而不提其他推论的原因，因此它是学生学习过程中的一个易错点）三、定理应用，新知巩固1．填空：（1）∵OC⊥AB∴

6、__________________（2）弦AB、CD相交于点ECD过圆心=_________2．例1、如图，在⊙中，是弦，于.（1）若，，求的长；（2）若，，求的长（3）若，，求圆的半径；规律总结：如右图，上述问题实际上就是在直角三角形中，弦长、半径和弦心距三条线段中已知两边求第三边.它们满足：（4）如图，AB=8，OC⊥AB于E，CE=2，求⊙的半径练习1.现在我们再看赵州桥的弓形半径问题：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗

7、？分析：如果说在CE的延长线上取点O作为圆心，连接AO，从而求出解.这种思路需要以垂径定理的其他推论为依据说明CE延长线一定过圆心方可，这会给解题带来难度，为避开这个难点，使解题方法更切合本节课的重点内容，采用以下方法：作OC⊥AB于E点，连接OA，则点C为弧AB的中点，故CE就是拱高.也就是说，已知CE和AB求OA.(略)例2.如图，大⊙O的弦AB分别交小⊙O于C、D两点，求证：AC=BD.一题多解：方法一、连接OA、OB、OC、OD，可用ASA、AAS、SAS；方法二、作OE⊥CD于E点，可用垂径定理；方法三、取C

8、D中点E，连接OE，可用垂径定理的推论练习2.如图所示，在⊙中，、是弦延长线的两点，且.求证：（说明：习题选择突出本节课重点知识，计算题和证明题各一道，计算题分两个层次：①例1（1）（2）（3）弦长、半径和弦心距中已知两者求第三者；②例1（4）已知拱高和弦长求半径，通过例一的解决渗透建模和方程思想。证明题旨在一题多解，既可考查旧知