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1、选修4-1平面几何选讲1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段・推论1:经过三角形一必的中点与另一边平行的直线必。推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线o2•平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段。3•相似三角形的性质定理：和似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于；和似三角形周长的庄、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似三角形而积的比、外接圆的而积比都等于一4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高
2、是的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上与的比例中项。5.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角;同鬪或等圆中，和等的鬪周角所对的弧O推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；90’的圆周角所对的弦是弦切角定理：弦切角等丁•它所夹的弧所对的6.圆内接四边形的性质定理与判定定理:圆的内接四边形的对角;圆内接四边形的外角等于它的内角的如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边区鬲四个顶点7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的o推论：经过圆心且垂直
3、于切线的直线必经过；经过切点且垂直于切线的直线必经过。切线的判定元理;一经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的&相交弦定理：圆内两条相交弦,的积和等。割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长；圆心和这点的连线平分的夹角。知识演练1.如图，在四边形ABCD中，EF//BC,FG//AD,则EFFG2.如图，PAB.PCD是圆的两条割线，已知PA=6,AB=2,PC=-CD.2则PD=3.如图所示，PA与圆0相切于A,PCB为圆0的割线，并且不过
4、圆心0,已知PA二2",PC二1,则PB等于.4.（2008•宁夏）如图所示，过圆0外一点M作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直于直线0M,垂足为P.（1）证明:0M-0P=0A2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线0N,且交圆0于B点.过B点的切线交直线0N于K.证明：Z0KM=90°・4.（2008•江苏）如图所示，设AABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,ZBAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC•EB.5.（2010宁海卷）如图：已知圆上的弧AB=BD,过C点的圆的切线与BA的延长线于E点，证明:(I)ZACE=ZBCD.(II
5、)BC2=BExCD.解：(I)因为AB=BD,所以ZBCD=ZABC.又因为EC与圆相切于点C,故ZACE=ZABC所以ZACE=ZBCD.(II)因为ZECB=ZCDB,ZEBC=ZBCD,所以BDCECB,故竺=竺BEBC即BC2=BExCD.……10分4.(2010•辽宁)如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接恻于点E.EC(I)证明：bABEs'ADC;(II)若MBC的血积S=-ADAE,求ZBAC的大小.2证明：(I)市已知条件，可得因为ZAEB与ZACB是同弧上的圆周角，所以ZAEB=ZACD.故厶ABE^/ADC.ABah(II)因为△ABE^/
6、XADC,所以——=——,即AB•AC=AEACAD•AE.V.S=-AB・ACsinZBAC,且・4E,故43・ACsinZ3AC=AD・4E.22则sinZBAC=l,又ABAC为三角形内角，所以ZBAC=90°.o4・1高考题汇编1.2010•北京)如图，圆0的弦ED,CB的延长线交丁•点A。若BD丄AE,AB=4,BC=2,AD=3,【命题立意】本题考查儿何证明的知识。运川割线定理是解决本题的突破口。【思路点拨】本题可由相交弦定理求11!DE,再利用三个直角三角形/?rAABD,RtBDE,RtABCE中求CE。【规范解答】由割线定理得，ABAC=ADAE,即4x
7、6=3xAE,得AE=8。DE=8-3=5.^BE,I柄BD丄4E,所以BE为直径，所以ZBCE=90°o在RfMBD中,BD=a/42-32=J7。在RtBDE中BE=后+7=4^2。亦RtBCE中,【答案】52^72.（2010•广东）如图，AB,CD是半径为。的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P,PD=—,3ZOAP=30°,则CP=.9-aA解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP丄4B.8在RtAOPA中，BP=AP=acos30°=—a.2由相交弦定理知，BPAP二CPDP,Da=CP-a,
