解答题专项训练函数、导数及其应用

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1、解答题专项训练一InXl.[2016•贵州安顺模拟]已知函数f(x)=ax—e'(q丘R),g(x)=——.(1)求函数/(兀)的单调区间；(2)壬。丘(0,+®),使不等式>o)^g(xo)-exo成立，求Q的取值范围.解⑴f(x)=a•ex,xER,当awo时，f(%)0时,令厂(x)二0得兀二Ina,由(x)>0得久兀)的单调递增区间为(-g,Ina)；由/'⑴<0得人兀)的单调递减区间为(Intz,+oo).(2)因为Exoe(O,+°°)，使不等式/Uo)Wg(xo)・弧，则阿冬呼2

2、,^lnxp即aW—.兀()InX设A(x)=爷(兀>0),则问题转化为a小于或等于加兀)的最大值，亠，1-21nx.milr由/z(x)=—y—，令h(x)二0,则兀二&・当兀在区间(0,+8)内变化时，hf(X)、加兀)的变化情况如下表：X(0,g)(晶+°°)h'(x)+0—h(x)12e、由上表可知，当"诳时，函数加兀)有最大值，且最大值为点所以aW右c42.[2015-重庆高考]已知函数/(x)=ax3+x2(a^R)在兀=—亍处取得极值.(1)确定Q的值;⑵若g(x)=»eY,讨论曲)的单调性.解⑴对.心)

3、求导得f(x)=3ax2+2x,4(4)因为.心)在"■扌处取得极值，所以f[・勺=0,即3°罟+2・「扌=^~-1=0,解得Q二*,经检验适合题意・(\⑵由⑴得能)二訝+无*,故g‘⑴令g‘(X)=0,解得x=0rx=-1或兀=-4.当兀<・4时，g‘(x)<0,故g(x)为减函数；当-40,故g(x)为增函数；当-l0时，g‘(x)>0，故g(x)为增函数.综上知，g(x)^(-00,-4)秋・1,0)内为减函数，在(-4,-1)和(

4、0,+8)内为增函数・3・[2016-浙江海宁模拟]已知函数.心)=(2—q)x—2(l+lnx)+d.(1)当Q=1时，求/(X)的单调区间；(n(2)若函数/(兀)在区间[0,才上无零点，求q的最小值.解(1)当a=1时，fix)=x-1-21nx,2则/'(x)=1--,定义域xG(O,+°°).Ji由f(x)>0,得x>2r由f(x)vO,得00；h{

5、x)=21nx,x>0,则/(兀)=m(x)-/z(x),(nfn①当a<2时，加(兀)在0,y上为增函数,力⑴在0,上为增函数/(n⑴(\若7U)在［o,引上无零点，则砧戶乜,({1即(2-Q肘・1戶21n2…・・q22-41n2r.・.2-41n2Wq<2,(n②当q22时,在［O,2上加(x)2O,A(x)<0,・・・./(兀)>0,・・.,/(x)在0,£

6、上无零点.由①②得Q$2■41n2,/.Qmin=2-41n2.4.［2016-山西四校联考］已知»=ln兀一x+q+1・(1)若存在%e(o,+00)

7、使得7U)20成立，求Q的取值范围；(2)求证：当x>1时，在(1)的条件下，^x2-Vax~a>xlnx解(1)原题即为存在无>0使得lnx-x+a+1$0,:.a^-Inx+x-1，令g(x)=-Inx+x-1(x>0),„.#1x-1贝UgW=・?+1二—令g‘(x)=0,解得兀二1.・・•当0—vl时，g‘(兀)vo,g(x)为减函数，当x>1时，g‘(x)>0,g(x)为增函数，・；g(兀)min=g(l)=0,Q$g⑴=0・故a的取值范围是［0+°°)・(2)证明：原不等式可化为+ax-xx-a*>0(

8、x>1,q$0)・令G(x)=$ax-xlnx-67-则G(l)=0.由⑴可知x-Inx-1>0,贝0G'(x)=x+-Inx-1鼻x-Inx-1>0,・・.Ga)在(i,+8)上单调递增，・・・G(x)>G(1)=0J5KZ,^x2+ax-xln兀-q-*>0成立ax-a>xinx+fjY—I—hx^^c5.［2016-天津南开模拟］已知函数.心)=’J(Q0)的导函数Cy=f(x)的两个零点为一3和0.(1)求/(X)的单调区间；(2)若/(X)的极小值为—求沧)在区间［—5,“.(2ax+Z?)eY-(ax'+

9、bx+c)ev解⑴f(x)J+°°)上的最大值.(ex)2-ax2+(2a-b)x+b-c令g(x)二"ax?+(2a-b)x+b-c]因为ev>0,所以y二f(兀)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-C的零点,且f(x)与g(x)符号相同・又因为a>0r所以-30,即/'(x)>0；当-3或x