高等代数§7.4特征值与特征向量

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1、一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法§7.4特征值与特征向量三、特征子空间四、特征多项式的有关性质从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，设　是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为的一个特征值，称　为　的属于特征值一、特征值与特征向量定义：若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量使得的特征向量.①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被

2、特征值所唯一确定的，注：相同　　　或相反时②若是的属于特征值　的特征向量，则也是的属于　的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若　　　　　且　　　　　，则设　　是V的一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为A.下的坐标记为二、特征值与特征向量的求法分析：设　是　的特征值，它的一个特征向量　在基则在基　　　　　下的坐标为而的坐标是于是又从而又即是线性方程组的解，∴有非零解.所以它的系数行列式以上分析说明：若　是　的特征值，则反之，若　　　满足则齐次线性方程组　　　　　　　有非零解.若　　　　　　　是　　　　　　　一个非零解，特征向量.则向量　　　　　

3、　　　　就是　的属于　的一个设　　是一个文字，矩阵　　　　称为称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式（　　　是数域P上的一个n次多项式）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换　关于V的一组基的矩阵，而　是　的一个特征值，则　是特征多项式的根，即的一个特征值.反之，若　是A的特征多项式的根，则　就是（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组　　　　　的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.i)在V中任取一组基写出在这组基下就是　的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们2.求特征值

4、与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基　　　　下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值则就是属于这个特征值　的全部线性无关的特征向量.而（其中，　　　　　　　不全为零）就是　的属于　的全部特征向量.如果特征值　对应方程组的基础解系为：对　　　　　　　　皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且解：A的特征多项式例2.设线性变换在基下的矩阵是求　特征值与特

5、征向量.故　的特征值为：　　　（二重）把代入齐次方程组　　　　　　　得即它的一个基础解系为：因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零因此，属于5的一个线性无关的特征向量为把代入齐次方程组　　　　　　　得解得它的一个基础解系为：而属于5的全部特征向量为三、特征子空间定义：再添上零向量所成的集合，即设为n维线性空间V的线性变换，为的一个特征值，令　为　的属于　的全部特征向量则　是V的一个子空间,称之为　的一个特征子空间.注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于　的若　在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则即特征子空间　的维数等于

6、齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是　的一组基.四、特征多项式的有关性质1.设　　　　　　　则A的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得②A的全体特征值的积＝①A的全体特征值的和＝称之为A的迹,记作trA.证:设　则存在可逆矩阵X，使得2.(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.于是，注：②有相同特征多项式的矩阵未必相似.成是矩阵A的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是　　　，但A、B不相似.多项式；而线性变换　的特征值与特征向量有时也说因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换　的特征①由定理6线性变换　的特征值与基的选择无关.如设为A的特征多项

7、式,则证:设　　是　　　的伴随矩阵，则3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又　　的元素是　　　　的各个代数余子式，它们因此，　　可写成零矩阵其中，　　　　　　都是　　的数字矩阵.再设则，①而②比较①、②两式，得③以　　　　　　　依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1个式子加起来，即得4.设　为有限维线性空间V的线性变换，　　是的特征多项式，则零变换例3.设　　　　　　　求解：A的特征多项式用　　去除　　　　　　　　　　　　　　得练习1：已知　　　　　　为A的一个特征值，则

8、（1）　　　　　必有一个特征值为;（2）　　　　　必