高等代数 特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、第四章矩阵的特征值与特征向量第一节矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵与矩阵可对角化的条件第三节实对称矩阵的特征值与特征向量1说明一、特征值与特征向量的概念1.定义:1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．第一节矩阵的特征值与特征向量23特征多项式:特征方程:定理4.1P159特征矩阵:42.利用定义求特征值与特征向量的步骤(A的元素已知)5解例167例２解8910例４设求A的特征值．解11二.特征值与特征向量的有关结论定理4.1推论1定理4.1推论212(4)零矩阵的特征值是0数量矩阵aE的特征值是a单

2、位矩阵E的特征值是1对角矩阵的特征值是主对角线上元素13三、特征值和特征向量的性质1.设A是n阶矩阵2.A可逆其任一特征值都不等于零14即15四、特征值与特征向量的求法1.利用定义求A的特征值或特征向量(1)A的元素为已知数值(前面已讲)(2)A为抽象矩阵2.利用特征值与特征向量的性质3.已知A的特征值与特征向量,反求A16例解:17例解:18例解:19例20例解:21例解:22例解:23例解:241.矩阵特征值与特征向量的概念小结2.求矩阵特征值与特征向量的步骤3.特征值与特征向量的结论4.特征值与特征向量的性质5.求特征值与特征向量的方法25一、相似矩阵及其性质1.定义第二

3、节相似矩阵与可对角化的条件262.相似矩阵的性质2728证明:例129解:例230例3解:31二.矩阵对角化及条件1.定义:这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．322.矩阵对角化的条件P166定理4.9P167定理4.10P166定理4.9推论33例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解134解之得基础解系35求得基础解系36解237故不能化为对角矩阵.解138解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解2393.求相似变换矩阵P的步骤40A能否对角

4、化？若能对角例1解41解之得基础解系42所以可对角化.43注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．44例2解:454647例3解:484.利用对角矩阵计算矩阵k个49P19615解:5051三、小结１．相似矩阵的概念及性质2．矩阵可对角化的概念及条件3.求相似变换矩阵P的步骤4.利用对角矩阵计算矩阵的K次幂521.(定理4.12)实对称矩阵的特征值为实数.一、实对称矩阵的性质2.(定理4.13)3.(定理4.14)第四节实对称矩阵特征值和特征向量53根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交

5、化;P1063.将特征向量单位化.4.2.1.54解例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值55解之得基础解系解之得基础解系56解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化57585960于是得正交阵61例262例3解:6364课堂练习P１９６1８解:651.实对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2

6、)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．66