初三数学教案【二次函数的图像与性质】

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1、二次函数的图象与性质【教学目标】1、掌握二次函数的图象与性质并达到熟练应用；2、熟悉二次函数解析式的各种形式和对应的求解方法；3、理解二次函数与一元二次方程之间的关系且会应用。【课型课时】针对第一轮复习的中考学员，复习课，难度中等，时长20分钟。【教学重点】二次函数的图像与性质，二次函数解析式的确定。一、二次函数的图象与性质（-）二次函数的三种表达式1、一般式：y=cix2+Z?x+c（a,b,c为常数,a0）2、顶点式：y=d（兀一力r+Ma,h,k为常数,a^0）——二次函数图像的平移3、两点式：歹=。（兀一兀］）（尤一兀2

2、）（込兀1，兀2为常数』工0）交点与一元二次方程的关系（不是每个二次函数都可以用两点式表示）【例题1］如果函数）=（£-3）（5我+也+1是二次函数,则k—定是分析：〉，=（£-3）疋一3"2+也+1是二次函数，则—3工0,k2-3k+2=2，可解得"0。【练习1】关于x的函数y=（加+1）x2+（m-l）x+m,当加=0时，它是函数；当加=T时，它是函数。【例题2］把二次函数y=-2x2+4x+3化成y=d（x-/i）2+k的形式【练习2］函数y=2x2-4x-1写成y=g（vA）2+k的形式抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐

3、标是对称轴是。（二）二次函数的图象与性质表达式y=ax1+bx+c(aHO)y=ax-h)2+£(aH0)图像形状抛物线开口方向a>0,开口向上；qvO,开口向下。顶点坐标(b4ac-b2(h9k)I2a'4a)对称轴hx=lax=h图象Q>0a<0yX、yoy«0*增减性Q〉0,以对称轴为界，左减右增。V（）,以对称轴为界，左增右减取值。>0,当*2d或"时，弘小值二4a或Ra<0,^x=2q或力时，）如大值二4a或鸟【例题3】对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0）,（3,0）两点，則它的对称轴为O分析：对于两点式：

4、y=°（兀一再）（尤一兀2）（3,兀1，兀2为常数，a工0）对称轴为兀二兰学。所以兀二罟=222【例题4］已知二次函数y=x2-mx-，当x<4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是。/、22分析：先化成顶点式）uX—-牛-1,因为d>0,所以开口向上，函数图Z丿4ni象以对称轴X=-为界左减右增，因为当Y4时，函数值y随X的增大而减小，所以m—>4,即m>8o2【练习4-1］已知两点A（-5,yJ,B（3,y2）均在抛物线y=ax1+Z?x+c（a0）±,点C（xo，yo）是该抛物线的顶点，若>y2>y（）,则x（

5、）的取值范围是。【练习4-2］设A（-2,yJ,B（l,y2）,C（2,y（J是抛物线）=-（无+l『+a上的三点，则yi、y2、y3的大小关系为。（三）二次函数图象与系数a.b、c的关系目字字母棉图象特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴cib>0（a、b同号）对称轴在y轴左侧左冋右异ab<0（a、b异号）对称轴在y轴右侧cc<0与y轴的负半轴相交c=0经过原点c>0与y轴的正半轴相交【例题5】如图，已知二次函数的图象如图所示，下列4个结论:①abc<0；②Z?Vd+c;®46?+2Z?+c>0;@b2-4ac

6、>0o其中正确的结论有。分析:因为抛物线图象开口向上，所以a>0;因为抛物线图象与y轴的交点在正半轴，所以c>Q;因为对称轴x=2,a>Q所以一刍=2,b<0,即b=-4a;因为顶点在第四象限，2a4ac-b2cz4ac-h2b(bzxnn.n所以<0,(=c+—x=c+b);即c+bvO;4a4q22a)综上，a>0,h<0,c>0zh=-4a,c+/?<0所以正确的结论有①②④注：③4a+2b+c=4a+〃+/?+c=4。一4a+b+c=b+cv0【方法指导】判断a、b、c及b2-4ac①确定a:看开口；②确定c:y轴交

7、点；③确定a、b关系及b:看对称轴位置，左同右异定符号；④确定戻-4ac:看x轴交点个数，决定，-4血的正负。【练习5-1］已知二次函数y二处2+加+吃工0)的图象如图所示，给出以下结论:①a+b+cvO；②G-b+cvO；③b+2av0；@abc>0o其中所有正确结论的序号^O【练习5-2］若整数x,y满足条件2x2-6x+/=0,则/+齐5兀的最大值是二、二次函数解析式的确定(-)待定系数法(每年必考——压轴题第一问)1、一般式：y=cix2+bx+c^^0)o若已知三个点坐标，则可设所求二次函数为y=ax1+加+c(aH0

8、),将已知三点坐标代入即可求出a、b、c的值。2、顶点式：)=g(x-/2)2+k(a工0)。若已知顶点坐标方程或对称轴与最大(小)值，即可设所求二次函数为y=a(x-h)2+k^^O).将已知条件代入，求出待定系数a,最后将顶点式化为一般式。3、两点式：y=。