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1、解直角三角形 应用举例 1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题. 2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题. 1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力. 2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力. 3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活. 1.学生积极参与探索
2、活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具. 2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神. 3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣. 【重点】 能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【难点】 正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材导入一: 【复习
3、提问】 1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)三边a,b,c有什么关系? (2)∠A,∠B有怎样的关系? (3)边与角之间有怎样的关系? 2.解直角三角形应具备怎样的条件? 【师生活动】 学生回答问题,教师点评归纳. [过渡语] 刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一 (教材例3)2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目
4、标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)? 思路一 师生合作探究: (1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点. (2)根据题意画出平面图形. (3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度? (4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?
5、(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗? (如图②所示,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数) 【师生活动】 教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程. 【课件展示】 解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形. ∵
6、cosα==≈0.9491, ∴α≈18.36°. ∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km). 由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km. 思路二 教师引导思考: (1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题) (2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点) (3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求) 学生操作:画出平面示意图. (4)最远点与P点的距离在示意图
7、中指的是什么的长? (5)如何求这段距离?和圆有什么关系? (6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识? 【师生活动】 学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式. 【课件展示】 解答同思路一. [设计意图] 引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二 【思考】 平时我们观察物
8、体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况? 【归纳】 视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角. (教材例4)热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)? 教师引导分析: (1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图所示) (2)分析题意,已知条件有哪些? (3)你能直接求出AB的长吗? (4)如何求出BC的长?(线段BD与线段
