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1、定积分的应用中文摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用；本文在阐述定积分的应用时，充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。关键词：微元法定积分电场强度数列极限Abstract:Thispaperdiscussedthedefiniteintegralinmathematics,physicsofbasicapplicat
2、ions.Mathematicsincludingapplicationofdefiniteintegralcalculationplanecurvearclength,theplanefigureoftheareaandvolumeofthree-dimensionalgraph,Physicalaspectsincludingapplicationofdefiniteintegraltochangetotheobjectforceandtheworkdoneforelectricfield.Besidesdefiniteintegralinthebegsequen
3、celimit,proof,inequalitysummationfactoringdecompositionandhasawideapplicationin,Basedontheexpatiationofthedefiniteintegralofapplication,makefulluseoftheHmicroelementmethodMthebasicidea,itiswesolvemanypracticalproblemsatthecore.KeyWords:Microelementmethoddefiniteintegralelectricintensity
4、sequencelimit引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学最重要的部分，微积分是数学的一个重耍的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等「而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展，女m气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。一、微元法1、微元法的原理应用微积分解决实际问题时，常用的方法是定积分的微元法•现以求解曲边梯形的面积为例，说明微元法的解题过程.
5、我们已经知道,由连续曲线y=jf(x)(f(x)>0,xe[a,b]),直线x-a.x-b及x轴围成的曲边梯形的面积S,通过“分割一近似代替一求和一取极限”四步,可将其表达为特定和式的极限•即S=乙）U=max{}其中，Ax.为分割成的第/•个小区间［%,._!，X,.］的长度，6为第j个小区间内任取的一点，/（6）为分割成的第，个小曲边梯形的高，则该小曲边梯形的面积AS,的近似值为：/严心=Xj-Xi_x,曲定积分的定义，有$=密£/&）工=（兀皿1=1由于S的值与对应区间［0,6的分法及纟的取法无关，因此将任意小区间［兀_1，兀］（i=1,2,…/）简单记为［x,
6、x+dx］,区间长度Ax.贝!］为dx，若取点&=x,则dx段所对应的曲边梯形的面积就为：AS匕、f（x）dx那么，表达式S=）Ax,=jf（x）dx就简化为:S=\m^f(x)dx=^f(x)dx若记dS=f（x）dx（称其为面积微元），贝i」S=ffx）dx・可见面积S就是面积微元dS在区间［a,h］上的枳分（无穷累积）.2、微元法的主要步骤定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式：求与某个区间［a,b］±的变量/（兀）有关的总量Q,这个量Q可以是面积，体积，弧长，功等.我们用如下的步骤去确定这个量.（1）根据实际问题,确定积分变量%及积分区间［a,b］・（2
7、）在山,切内任取区间微元［x.x+dx］,求其对应的部分MAQ的近似值dQ・根据实际问题，寻找Q的微元dQ时，常采用”以直代曲”的方法，使〃Q表达为某个连续函数/（兀）与dx的乘积形式，即A(2匕dQ-f(x)dx(3)将0的微元d。从d到b积分，即得所求整体量0・fZx3、微元法的使用条件据以上分析，可以用定积分来解决实际问题屮的所求量0应符合下列条件：(1)0是与一个变量的变化区间[Q,勿有关的量；(2)Q对于区间具有可加性；(3)局部量的近似值可表示为/(即心,，这里/⑴是实际问题中选择的函数.4、验证微元法一、计算平面图形面积.曲线弧长、立体
