2019秋高中数学第四讲数学归纳法证明不等式评估验收卷（四）（含解析）新人教A版

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1、评估验收卷(四)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析：依题意命题A(n)对大于或等于n0的正整数都成立．答案：C2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－

2、7n＋4)(　　)A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1,2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入验证可知B正确．答案：B3．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是(　　)A．f(n)＝nB．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)C．f(n)＝f(n－1)·f(n－2)D．f(n)＝解析：当n≥3时，f(n)分两类，第一类从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类从第n－2层再一次上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)．答案：

3、D4．用数学归纳法证明1+≦1＋＋＋…＋≦+n(n∈N*)成立，当n=1时，应验证(　　)A.≦1+≦B.≦1++≦C.≦1++

4、＋.故本题正确答案为D.答案：D6．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)A.B.C.D.解析：由a2＝S2－S1＝4a2－1得a2＝＝，由a3＝S3－S2＝9a3－4a2得a3＝a2＝＝.由a4＝S4－S3＝16a4－9a3得a4＝a3＝＝，猜想an＝.答案：B7．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)A．f(k)＋1　　　　　　B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交有交点，所以应比原先增加k个交点．故应选B

5、.答案：B8．在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是(　　)A．an＝－1B．an＝n－1C．an＝－D．an＝－解析：由题意，可知S2＝a1＋a2＝－1，所以a2＝－1－＋1＝－；S3＝a1＋a2＋a3＝－1，所以a3＝S3－S2＝－，同理，可得a4＝S4－S3＝－，故可猜想an＝－.答案：D9．F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)(k∈N*)真，则F(k＋1)真，现已知F(7)不真，则有①F(8)不真　②F(8)真　③F(6)不真　④F(6)真　⑤F(5)不真　⑥F(5)真其中正确的是(　　)A．③⑤B．①

6、②C．④⑥D．③④解析：因为F(k)(k∈N*)真，则F(k＋1)真的逆否命题是：F(k＋1)不真，则F(k)不真，从而可结合数学归纳法的原理知：当F(7)不真时，F(6)不真，F(5)亦不真，故③⑤是正确的．答案：A10．设0＜θ＜，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an为(　　)A．2cosB．2cosC．2cosD．2sin解析：a1＝2cosθ，a2＝＝2cos，a3＝＝2cos，猜想an＝2cos.答案：B11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a

7、＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c解析：因为等式对一切n∈N*均成立，所以n＝1，2，3时等式成立，即整理得解得答案：A12．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)A．30B．26C．36D．6解析：f(1)＝36，f(2)＝108，n≥3时f(n)＝9[(2n＋7)3n－2＋1]，(2n＋7)·3n－2＋1，当n≥3时能被4整除，结合选项知C正确