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《【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：等差数列、等比数列的证明问题（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题一，等差数列、等比数列的证明问题翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有:利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前〃项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.题型一：利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列,常采用的两个式子色—a亠d和％+厂①=d有差别，前者必须加上“h22",否则n=1时绳无意义；在等比数列中一样有:心2时，有2-二=q（常数g工0）；②心^时，有仏■二=q（常数g
2、工0）・色-1a”【例1】【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列｛%｝中，已知4=2,afl+l=3an+2〃一1.（1）求证：数列｛色+切为等比数列；（2）记仇=①+（1-，且数列｛bH｝的前n项和为Tn若T.为数列｛7；｝中的最小项，求久的取值范围.Q1【答案】（1）详见解析（2）丁4【解析】试题分析:（1）证明等比数列，一般从定义出发，即证明相邻两项的比值为非零常数，先说明非零:%+川+1CM6>0:an^n>Qf再证比值为常数：•:（2）先求等比数列通项q+比=3”,从而得到4=3”-说，再根据分组求和得7
3、；=£（3如-1）-兰巴久，将条件：兀为数列｛兀｝中的最小项，转化为对应不等式恒成立问题，最后结合变量分离法将其转化为对应函数最值问题试题解析：解⑴•.•％1=3冬+2川一1,・・・花1+比+1=3仇+川）.dz]+77+1r又心,W"故•••仏“+切是以3为首项，公比为3的等比数列⑵由⑴知道^+n=3:.bn=y-nA・二7；=3】+3'+・・・+3”一(1+2+3+・・・+对久=3(3>2—1)一_^^久.若耳为数列｛厶｝中的最小项，则对施N•有*3”-1)-竺工肥39-6久恒成立即3^-81>(YT+刃-12)2对巾汀•
4、恒成立『当*1时，有石二兀二久二曽；2=当"2时,有厶3忑=>久二9；3°当w>4B寸〉w2+w-12=(&+4)(>7—3)>0恒成立,..z<踽对皿4恒成立.3曲一813^1(2/-26)+162(n+l)(才+3农一10)(7广+?7—12)>0对Vw>4恒成立/(«)=壬翟在心时为单调递増数列.C1/.A
5、数列｛仇｝的前/7项和S”•【分析】(I)根据已知等式结合等比数列的定义证明，从而求得色;(n)先求得仇的表达式,再用错位相减法求得s“.【解析】（!）由条件得命，又〃=1时,sn2故数列怜｝构成首项为1,公比吋的等比数列.TT...（池+1）‘/2〃+1/曰厂352农+11352^—12总+1（II）由%=—-—=—得S”=_+=+・・•+—=—+—+■••+l丄丄占&&41113两式相减得：捫=+吟所以・S丸=5【点评】证明数列终成等比数列的关键是对已知条件两边同除以（"+1）2，构造矿Q”+i_（“+1）2一巧^题型二:运
6、用等差或等比中项性质陽+陽+2=2%
7、o｛色｝是等差数列，atJatl+2=E+fah0）oa｝是等比数列，这是证明数列｛%｝为等差（等比）数列的另一种主要方法.【例2】正数数列｛色｝和｛仇｝满足：对任意自然数"，色，bn,d曲成等差数列，“,a曲，仇+]成等比数列•证明：数列｛旋｝为等差数列・【证明】依题意,an>0,hn>0,2仇=an+an+r,且an+[=J也和,•••①=血少⑺鼻2）••••2bn=JbS+Jb”b曲•由此可得2y/^二J仇_1+J®+1•即J"_i-yfb^=y[b^-yjbfJ_｛（7?2）•数列｛
8、如为等差数列•【点评】本题依据条件得到％与仇的递推关系，通过消元代换构造了关于｛丽j的等差数列，使问题得以解决•通过挖掘s〃的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算.【小试牛刀】设数列｛色｝的前项为S",已知坷=1,勺=6,色=11,且(5n-8)Sn+1-(5/?+2)5?1=An+B,n=1,2,3,，其中AB为常数.(I)求/1与B的值；(口)证明数列｛色｝为等差数列・【解析】(I)由e=1,6=6,冬=11>得S]=1,S2=7,=18・把w=l,2分别代入(5«-8)匚一(勿-2)工=血
9、-巧得笳二解得,J=-20,5=-S・(II)由(I)知，5h(S“]-SJ—8St-徨=-20«-8，即5na^-8S.j-2S=-20«-8,①又5"+l)aY_8S*—2S-]=—20("-1)—8・②②-①得,5(m+1)j-5叫】-8j-亠=-20,即
