等差数列与等比数列问题的精彩妙解-备战2019年高考高三数学---精校解析Word版

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1、【备战2019年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】考纲要求:1.理解等差(比）数列的概念(定义、公差、等差中项)．掌握等差(比）数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等差(比）关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等差数列与一次函数的关系．了解等比数列与指数函数的关系．4.掌握等差(比）数列的性质及其应用．基础知识回顾:一、等差(比）数列的定义通项公式及前n项和公式1.等差数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列

2、就叫做等差数列．表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．（提示：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列）．（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．（3）通项公式：an＝a1＋(n－1)d.4．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.2等比数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定

3、义的表达式为＝q.（2）等比中项：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.（提示：在等比数列中每项与公比都不为0）.（3）通项公式：an＝a1qn－1.前n项和公式：Sn＝二、等差(比）数列的性质　1.数列{an}是等差数列，则其项的性质有：（1）an＝am＋(n－m)d，an＝An＋B等形式，d＝（其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差）．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{

4、an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．　2.数列{an}是等差数列，则其和的性质有：（1）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.（2）前n项和公式Sn＝n2＋(a1－)n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．（3）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1

5、＝(2n－1)an.(4)在等差数列{an}中，若项数为偶数2n的等差数列{an}：S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．S偶－S奇＝nd，＝.若项数为奇数(2n＋1)的等差数列{an}：S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.＝.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)　3.数列{an}是等比数列，则其项的性质有：(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，

6、即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；4.数列{an}是等比数列，则其和的性质有：(1)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．应用举例:类型一、等差数列的基本运算【例1】【贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第三次月考】设是等差数列的前项和,,,则公差A．B．C．1D．-1【答案】D【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前

7、n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.【例2】【北京市101中学2019届高三10月数学（理）统练试题（5）】已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）A．17B．14C．13D．3【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，，解得，，所以，故答案选B。【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。【例3】【四川省高2019届高三第一

8、次诊断性测试】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为（）A．10B．8C．6D．-8【答案】A【解析】【分析】由题意可得(a1+4)2＝a1(a1+6)，解之可得a1，代入等差数列的求和公式可得．【点睛】本题考查等差数列的求和公式，涉及等比中项的应用，属中档题．类型二、等差数列的性质及最值【例4】【湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考】在等差数列中，，公差为，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】