2、对于一类具功能反应的食饵•捕食者模型，X=xg(x)-艸(x),y=y(-d+考虑g(x)=a-bxQy(a,6>0,00,0v0V1).文［1］对a=0=£a=c=l的悄形进行了完整的讨论；文⑵对*Sa=0V1,且Q使得f(x)=^/x在(-8,+8)为偶函数的情形进行了研究，均获得了较好的结论.本文讨论如下模型，Ji=x(a—bxQ)—cyx^［》=9(_d+cex^)其中a,6,c,d,e>0,0v0vav1.令z=耳y,贝I係统⑴有如下等价形式：并仍以工，
3、y记f=2(4【一A2X^)一yx2~^三P(x,y)tM=4oy(_l4-x)=Q(x,y)其中:Aq=d,旳=a0,A2=b0基于系统的生态意义，我们仅在6=均为正常数.{(工,9)
4、力>0,t/>0}中进行讨论.收稿日期：2005-09-27E>mail:kyqlxy@sinaxom.作者简介：匡奕群(1964-),男，江西遂川人，副教投，硕士.1平衡点性态容易知道，当4iS人2时，系统⑵仅有两个平衡点0（0,0）,M,0,当41>金时，系统⑵有三个平衡点0（0,0）,M£e,0I,N(1,A1-A2)
5、.记H=&PdPdxdydQdQdxdy则各平衡点的性态如下:(1)0(0,0),DetHo=⑵M",oDetHM=00-Xo=_4o4】v0,0(0,0)为鞍点;g(2-A)a00aTtHm=—A+Aqa时，有DetHM>0,且TtHm<0,M为稳定结点.(3)N(l.Ax-A2)9其中4】>A2.CLo一1,£"一1・当41>力2时，有DetHM<0,M为鞍点；当Ai0A—(1+£)—(2—孑)(A—乂2)4o(&i-&2)TtHn=(41—人2)(—1+直)—£虫2当（4
6、1一冷）（一1+*）-£念>0,则N为不稳定的焦（结）点;当⑷一血）（一1+£）-<0,则N为稳定的焦（结）点.综上所述，我们可得如下的引理1:弓I理1（1）0（0,0）为鞍点；（2）当时，M为稳定结点；（3）当>42时，M为鞍点；且当（41一砌（一1+-轨>0,N为不稳定的焦（结）点；当（A.-A2）（一1+*）--A2<0,则N为稳定的焦（絢点.Q引理2系统（2）从G内任意点P（x0^0）岀发的解均有界.x=max作直线厶3=工一亍=0,则亂一宀<0,(y>0)作曲线厶4=丄+lny-K=0,即y=eK^x
7、则竽
8、（2广（竽+揺）L）=皿一心）-I+加-1+工）因此，当（0,5）时，总可适当地选择K,便得学-V0•又厶=丄-0=0,乙2=9-0=0at（2）是系统（2）的轨线，所以系统（2）从G内任意点出发的解均有界.定理1若X）<42,M为全局渐近稳定的结点.证由引理1、引理2易得.2闭轨的不存在性定理2若4i-(l+a)42<0,则系统⑵在G内无闭轨线.证作Dulac函数*B(x,y)=xry9,则+=xrys{(1+门4]一(1+卩+山□芜一(2+r_*)讨_备+(s+1)40(-14-x)取r=i-1,s=
9、1，则0pAQdBPdBQ「s贡P=Xy(1+S)AqX—xry9JX]—(1-FQ)A2aI0X12>0,则系统⑵在G内绕N（1,4i-42）存在唯一稳定的极限环.证⑴存在性：（人1—加）（—1+>£人2>0,A>A2,鲁>1作直线厶1=
10、=一!/（鲁）<0（1/>0）作曲线厶2=化+lny-K=0,则備+誅）
11、（2）"⑷-3）-心宀+加（_1*©时，总可适当地选择K,使得V0,又厶3=龙一0=0,厶4=2/-0=0是系统⑵的轨线.所以S厶2,厶3,厶4构成Poincare-Bendixson环域的外境界线，且穿过边界的轨线均从外至内，又N(lMi-A2)为不稳定的平衡点，因此，N的外围至少存在一个稳定的极限环.(2)唯
