中考数学复习指导：等腰三角形存在性问题的解法分析

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1、等腰三角形存在性问题的解法分析对于存在性问题，有这样i种类型的题日:是否存在某点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形.下面举例说明这类问题的解法.一、内图外传例1如图1所示，在平面直角坐标系中，过点A(->/3,0)的两条直线分别交y轴于B,C两点，且B,C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根.(1)求线段BC的长度.(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由.⑶若点D在直线AC上，且DB=DC,求点D的坐标.(4)在⑶的条件下，直线BD上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出P点

2、的坐标;若不存在，请说明理由.分析前面3问略，主要分析第(4)问.由于A,B,P三点中，两点是确定的，则可以先用以下方法确定点P的大致位置后再结合图形，利用相关图形的性质进行求解.首先分别以A和B为圆心，以AB为半径作弧,其二作AB的垂直平分线，确定它们与直线BD的交点即可.首先要关注ABOE与ABOA，要充分利用这两个三角形中的条件.将MBP的条件分析讨论出来，与ABOE与ABOA中的条件结合进行求解.先求直线3D的解析式为：y=—x+3,可求出OE=3羽,从而得ZBEO=30°,3又可求出ZABO=30°,则ZABE=30°.①PA=PB时，如图

3、1,此时，ZBEA=ZABE=30°,/.EA=AB,:.P与E重合,・・.P的坐标为(-373,0).②当=时，如图2,此时ZPAB=ZPBA=30°,QZABE=ZABO=30°,・・•ZPAB=ZABO.-.PAI/BC,・・・ZPAO=90°,/.点P的横坐标为一的.令兀二—巧代入歹=止兀+3,得y=2,・・・P（—希,2）.③当PB=AB时，如图3,由勾股定理可求得：AB=2羽,EB=6・若点P在丁轴左侧，记此时点P为人，过点片作丄兀轴于点F,・・・P、B=AB=2迟,・・•E片=6-2巧,•・・EP、=3_®若点P在y轴的右侧，记此时点P

4、为马，过点£作鬥G丄x轴于点G,・・fB=AB=2羽,:.EP、=6+2希,・・・GR=3+巧.令y=3+V5代入丿=亜兀+3,得兀=3,・・.£（3,3+巧）.综上所述，当AbP三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-3巧,0）,（_巧,2）,（-3,3-73X（3,3+73）.评注所谓“内图外传”就是将等腰三角形本身的性质外传到其它的图形中，充分利用其它图形的条件进行问题求解.要特别关注和挖掘冃标等腰三角形外的隐含条件，如本题中的两个与坐标系有关的三角形以及线段所隐含的一次函数的性质.二、外图内传例2如图4,在平面直角坐标系中，己知抛物

5、线y=么『+加_8与兀轴交于两点，与y轴交于点C,直线/经过坐标原点0,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点的坐标分別为(-2,0),(6厂8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标.(2)试探究抛物线上是否存在点F,SFOE=FCE,若存在，请直接写出点F的坐标;若不存在，请说明理由.(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,m),直线与直线/交于点Q.试探究:当加为何值时，'OPQ是等腰三角形.分析前而2问略，主要分析第⑶问.如图5,作0H丄兀轴于点4根据前面两问可求出，点B的坐标为(

6、8,0),直线/的函数表达式为y=-—x.根据直线/的函数表达式为y=~x＞可得彎=牛设°H=3n，则QH=4n,OQ=5n.所以cosZPOQ=cosZOQH=^-=-上-,所以00=5"如_3m-323/71-32,QHBHp4n8-3/?必l+l^=——，得一=,解得ziPOBO-m84这就把直线/的函数表达式为y=-—兀隐含的几何条件和其它与坐标轴围成的相关三40/72角形的性质转移到APOQ中•这时POQ中,0P=-m.OQ=,3m-324cosZPO0=—.充分利用这些条件和等腰三角形的性质即可解决问题.图5图6分三种情况讨论:①图6,

7、当OP=OQ时，解方程一加二壽初-細=0舍去).4②如图7,当QP=Q0时，根据等腰三角形的“三线合一”和cosZPO0=—,得514-OP=-OQ.25解方程-丄加2③如图8,当PO=PQ时,4根据等腰三角形的“三线合一”和cosZPOQ二一，得14-OQ=-OP.25解方程丄x23m-32不合题意，舍去.评注所谓“外图内传”就是将其它的图形屮的性质转移到等腰三角形屮来，再结合等腰三角形的性质进行问题求解.首先挖掘目标等腰三角形外的图形的隐含条件，如本题中的两个与坐标轴有关的三角形以及一次函数隐含的儿何性质，然后通过转化，将其转移到等腰三角形中.解

8、决问题时，一定要眼光开阔，不能只局限于目标三角形.三、直接列式40m4=——m,5得加二彳或加=0.此时点P