中考数学复习指导：利用辅助圆求解动点最值问题

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1、利用辅助许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆：一、同一端点出发的等长线段例1如图1,在直角梯形ABCD中，ZDAB=ZABC=90°,AD=3,AB=^BC=6，点F是线段43上一动点，将EBC沿CE翻折到AEB'C,连结B'D,B'A.当点、E在AB上运动时，分别求B'D,B'A,B'D+B'A的最小值.解析如图1,当点E在点B时，与B重合;当点E在点A时，设点在点F处，由翻折可知BC=BfC=FC.所以，点在以C为圆心，BC为半径的圆上，运动轨迹为弧BF.如图

2、2,点D在OC内，延长CD交OC于点妨.当点8’在点目时B'D最小，最小值为BC-DC=・点A在（DC外，设AC交OC于点坊，当点在点场时最小，最小值为AC-B£=2丘-6.Ar设AD与（DC交点为耳，当点/在点耳时B'D+B'A最小，最小值为AD=3.点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1如图3,点A在OO外，A到OO上各点连线段中AB最短；如图4,点A在（DO内，A到（DO上各点连线段中最短.证明在OO上任取一点C,不与点3重合，连结CA,CO,如图3.•/OC+CA>0AyOC=OB,/.

3、CA>AB，得证.如图4,-OC-OAZH=ZC,・••当ZACB为定值时，点C形成的轨迹是弧ACB、弧ADB（不含点A,B）.1.动点时定线段所张的角为直角例2如图6,正方形ABCD边长为2,点E是正方形ABCD内一动点，ZAEB=90°,连结DE,求DE的最小值.解析vZAEB=

4、90°,AB为定线段，由模型2可知，点E在以AB为直径的圆上.连OD交OO于点F,由模型1,当E在点F处时DE最短，最小值是V5-1.点评当动点对定线段所张的角为直角吋，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.1.动点时定线段所张的角为锐角例3如图7,ZXOY=45°,一把直角三角形尺ABC的两个顶点A,B分别在OX,OY上移动，AB=10,求点0到AB距离的最大值.XoBY图7A图8解析如图&OD为AABO的外接圆，由模型2知，点O的运动轨迹是弧AOB（A,B两点除外）.过点D作AB的垂线，垂足为点E,交弧A03于点F,当点0在点F处时，0到AB的距离最大，即为FE长.•・・ZXO

5、Y=45。,・・・ZADB=90°.・・•AB=叫・FD=AD=DB=5逅,DE=5,・・・FE=5血+5.故O到AB距离的最大值为5^2+5.点评本题AB是定长，ZXOY为定值，利用模型2,找到点。的运动轨迹是一段弧,这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.模型3如图9,AB是。O的一条弦，点C是OO上一动点（不与重合），过点O作DE丄AB,垂足为D,交OO于点E（E,D在O两侧）.当点C在点E处时，点C到AB的距离最大，即为DE长.证明如图9,作CF丄垂足为点F,CF

6、BC边长为2,射线AD//BC，点E是射线AD±一动点（不与点A重合），MEC外接圆交EB于点F,求AF的最小值.解析如图10,・・・ZEFC二ZE4C=60。,・・・ZBFC=120。.•・•BC为定长，.••点F的运动轨迹是弧BC（不与B,C重合）.过点A作AG丄BC垂足为G,交弧BC于点H,当点F在点H吋AF最小，最小值^AG-HG=a/3-—.33点评本题将动点E转化到动点F,且因为ZBFC=120°,BC为定长，由模型2可知，点F的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.三、动点对定线段所张的角的最值例5

7、如图11,四边形ABCD中，均有AD//BC.CD丄3C,ZABC=60。,AD=&BC=2.在边AD上，是否存在一点E,使得cosZBEC的值最小？若存在，求出此时cosZBEC的值;若不存在，请说明理由.解析当ZBEC为锐角时，cosZBEC随ZBEC的增大而减小，求cosZBEC的值最小值，只要求ZBEC最大值.于是，作BC中垂线交BC,AD于点F,G.设三点B,C,G确定OO,则OO切AD于点G.此