动点最值问题

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1、动点最值问题最值分为几何最值与代数最值，结合最值利用三角形三边关系求解；代数最值利用函数性质求解1、应用几何性质①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长⑤对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；常见作图模型例1、（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、G

2、P，则△BPG的周长的最小值是．2、（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为（）第14页共14页A．B．C．D．23、如图所示，已知，为反比yxOABP例函数图像上的两点，动点在正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（）A.B.C.D.2、运用代数证法：（此类问题通常在压轴大题中出现）①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。综合例题1、例5（20

3、12•南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．第14页共14页思路分析：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD≌△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可

4、求出y与x之间的函数关系式；（2）先运用配方法将y=﹣x2+x+写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．解：（1）如图1，过点A作AE⊥

5、x轴于点E．在△BCD与△CAE中，∵∠BCD=∠CAE=90°﹣∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，∴△BCD∽△CAE，∴BD：CE=CD：AE，∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，∴y：（3﹣x）=（x+1）：4，∴y=﹣x2+x+（﹣1＜x＜3）；（2）y有最大值．理由如下：∵y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x）+=﹣（x﹣1）2+1，又∵﹣1＜x＜3，∴当x=1时，y有最大值1；（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，

6、连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．∵A（3，4），∴A′（2，4），∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．第14页共14页设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则，解得．∴直线A′B′的解析式为y=x+，当y=0时，x+=0，解得x=﹣．故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（﹣，0）．点评：本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅助线证明△BCD

7、∽△CAE是解题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．第14页共14页2．（2012•孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为　

8、　时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为　　时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．8．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3又