中考数学教学指导：例谈化归思想在中学数学解题中的应用

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1、例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是屮学数学解题屮的一类重要思想，其核心目的是为了简化求解过程，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化.自从新课改理念提出以来，广大数学教师对数学解题思想的探究就从未停止.化归思想以其高度的实用性和有效性，赢得了师生的一致认可，是实现対学生综合素养教学的重要手段.一、化未知问题为已知知识未知问题向已知知识点转化是化归思想使用的常见类型，通过化归思想的使用，实现了未知D.与已知的联系.例1如图，在矩形ABCD中，点E在边上，沿CE折柱矩形ABCD,使点B落到AD边上的点F处，若4B=4,BC=5,则tanZAFE的值为()

2、.C.—4A.一3解析欲求三角函数tanZAFE的值，由于对应边长未知，我们必须利用化归思想将其向已知边角转换•从折叠图形的性质可知ZEFC=ZB=90°.CF=BC=5•结合同角的余角相等定理可知，ZDCF=ZAFE时，我们便可以将欲求的未知三角函数转化到已知的三角函数中.即是，在RtADCF,CF=5、CD=4,得到DE=3，所以DF3tanZAFE=tanZDCF==—・DC4综上，选C项.二.化复杂问题为基础知识数学难题的求解尤其注重分析和转换过程，通过化归思想的使用，可以将难题转变成儿个基础题进行求解，实现了对难题求解的简化•此后，我们再将这些基

3、础题进行综合性归纳,即川实现简化求解例2如图，正方形ABCD的边长为2,M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交CD于点F,过点M作EF的垂线交BC于G,连接EG、FG・(1)设AE=MEFG的面积为y,试求y关于兀的函数，并标注白变量的取值范围;(2)P是MG的中点，请写出点P运动路线的长.解析动点问题往往是学生们较为害怕的问题，很多学生见到动点问题往往会无从下手.对此，我们必须将动点视为定点，帮助学生寻找突破口.当E点在直线上运动时，存在三种情况，即是与A点重合;位于AB之间;与B点重合这三种情况.首先，当点E与点A重合时

4、，我们可知，对应的可以求出y=2.然后，当E点与A点不重合时，由AAEM全等于MDF可知，ME=MF，于是在RtAME中，AE=x,AM=1,得到ME=3+,EF=2ME.至此，我们需要进一步化归，寻找MG的边长条件.于是，我们绘制MN垂直于BC,利用三角形相似的性质，可以得到AAME相似于NMG.对此，进一步可得比例关系丄二一二其中一匕二—，于是可得MG=2ME=2yJx2+.最后，NMMGMG2在RtA£FG中，可知其面积函数y=-EFxA/G=2x2+2,其中xg[0,2].对于第二问，我们还是需要使用化归思想，只要找到E点分别位于A点和B

5、点时对应的点P与点P的位置，即可实现求解.如上图所示，我们在原图中得到了对应点的位置，便可以很容易算出其长度值为2.三、化特殊问题为一般问题特殊问题往往是屮学数学的难点，但在化归思想的使用下，我们可以将特殊问题转化成一般问题进行求解.通常情况下，在化归转换之后，原本的特殊问颔在数学处式、宗理的使用下即可顺利求解.例3如图所示，两个半圆中大半圆的弦CD与小半圆相切，且AB//CD,其中，CD=6cm，试求图屮阴影部分的面积.解析首先，对于该图中的阴影部分面积，我们并没有直接的公式进行求解.此时，我们不难联想到化归思想，将阴影面积转换成大半圆与小半圆的面积差来

6、进行求解•从图中不难看出两圆半径与弦CQ的关系，由垂径定理及勾股定理可知，FC2-EF2=CE2=9.我们若假设大圆半径为/?,小圆半径为广，即是疋-厂2=9.此时，我们利用化归思想可以得到阴影部分的面积为（F—厂2）龙/2.此时，答案显而易见，只要将己知的长度关系代入即可求出阴影而积为9龙/2.总之，化归思想是中学数学教学的重要思想方法之一，对培养学生数学思维、简化训练求解过程、提高学生综合能力上有着重要作用.作为屮学数学教师，我们必须敢于创新，积极推广化归思想在数学解题中的应用.