从“将军饮马”问题谈起

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1、从“将军饮马”问题谈起相传，海伦是古希腊亚历山大里亚城精通数学、物理的学者。一天，一位将军向他请教一个问题：从图1中的A点出发，到笔直的河岸「去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦稍加思索，便回答这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马”问题，运用你所学过的知识，请在图中画出路线，并简要说明作法。析解：作A点关于直线/■的对称点A',连结A'B,交/■于点P。根据对称性，有PA=PA',故PA+PB二PA'+PB,由“两点之间线段最短”，可知P点即为所求的点原来海伦在解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直

2、线问题求解的.后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题屮都在起作用•现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理.有趣的是它的变形可以过渡到物理方面，例如：物理光学中把上图的河岸线看作一面镜子，光从点A射出，被镜面「反射，如果要反射经过点B,则入射点必然是点P,即光线总是沿着最近的路程行走。通过对“将军饮马”问题的思考，我们发现许多数学知识存在了类似之处。大家在学习中应多类比多思考。例1、如图2,在边长为6的菱形ABCD中，ZDAB=60°,E为AB的中点，F为AC上的一个动点，求EF+BF最小值.分析：要求出

3、EF+BF最小值，可以先找出B点或E点关于AC的对称点.本题找B点的对称点显然更为方便.DC图2证明:连结BD、ED.ED与AC相交于P点，连结BP.因为D点是B点关于AC的对称点.所以当F点移动到P点时,EP+BP最短.TD点是B点关于AC的对称点，・・・BP二DP.•••EP+BP二DP+PE二DE,VZDAB=60°,AB二AD,•••△ADB是等边三角形.又TE点是AB的中点，・・・DE丄AB.•・・AB=6,图3・•・DE=3a/3.AAEF+BF最小值是3侖【变式练习】如图3,正方形ABCD的边长为&M在CD

4、上，且DM=2,N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值是多少？例2.如图4,在直角坐标系中，点A的坐标为（一2,0）,连接O左顺时针旋转120°，得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、0、B三点的抛物线的解析式；(3)在⑵中抛物线的対称轴上是否存在点C,使ABOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；解：(1)过点B作BD丄x轴于点D,由已知可得：OB=OA二2,ZBOD=60°在RtAOBD中，ZODB=90°,ZOBD=30°・・・OD=1,DB=V3・••点B的坐标是(1,V3)

5、(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2-^bx+c，由已知可得:c=0

6、，此时△BOC的周长最小。即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小,设直线AB的解析式为y二火+b,则有：$+心巧[-2k+h=0解得:V332^3"V・•・直线AB的解析式为y=£无+半当兀二_1时,・•・所求点C的坐标为（-系列问题设计：初始问题：己知点A、B在直线1的同侧，在直线1上找点P,使PA+PB最短;分析要点：作点B关于直线L的对称点B1连结AB1交直线L于点P则此时PA+PB最短变式一:已知点A、B在ZMON的两侧,分别在0M、ON上找点P、Q使AP+PQ+QB最短;分析要点：作点A关于直线

7、DM的对称点A1再作点B关于直线ON的対称点B1连直线A1B1A与OM,ON分别交于点P,点Q则AP+PQ+QA最短变式二、已知村庄A、B之间有一条河流，河两岸a、b互相平行，现要在河上架一座桥（垂直于河岸），使村庄A、B之间的路程最短，桥应该建在什么位置？分析要点：过A作直线a的垂线Ml使线段Ml的长度等于平行线a、b之间的距离，连接A1B交直线b于点G,则桥应建在GH的位置(GH垂直于直线b)习题举例：1、已知：等边三角形ABC中，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P使BP+AP得值最小，并求最小值做法如下：

8、作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD与一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为CE的长度。2、已知00的直径CD为4,弧AD的度数为60°，点B是弧AD的屮点，在直径CD上找一点P,使BP+AP值最小,并求BP+AP的最小值。3、己知:在AOAB中,0为坐标原点,A(4,4),B(8,0)