材料力学附录1平面图形的几何性质

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1、材料力学附录1平面图形的几何性质一、静矩、形心及其相互关系了解二、惯性矩、极惯性矩、惯性积掌握三、平行移轴公式掌握四、主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念了解附录1平面图形的几何性质本章重点1、静矩、形心及其相互关系2、惯性矩、极惯性矩、惯性积3、平行移轴公式重要概念本章难点1、组合图形对形心轴惯性矩的计算2、主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念形心，静矩，惯性矩，极惯性矩，惯性积，惯性半径，形心轴，形心主轴，形心主惯性矩研究截面几何性质的意义选取合理的截面形状和尺寸充分地发挥材料作用安全与经济影响几何量横截面面

2、积A极惯性矩IP惯性矩Iz应力变形承载能力1、静矩的概念zydAyz静矩是面积与它到轴的距离之积。平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。一、静矩、形心及其相互关系图形对于y轴的静矩：图形对于z轴的静矩：静矩也称为图形对轴的一次矩。2、平面图形的形心定义：形心即是图形几何形状的中心。对于等厚均质的薄板，重心的位置即是形心的位置。形心的位置只与平面图形的几何形状、尺寸有关。(1)图形具有一根对称轴，则形心在此对称轴上；(2)

3、图形有两根对称轴，则形心在两对称轴的交点；(3)三角形平面图形，其形心在三角形的三根中线的交点上，距各边相应高度的1／3处。平面图形的形心坐标dAzyyzc当微面积△Aｉ→0时，则用积分法求形心坐标：形心与静矩的关系平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心到该轴距离yC（或zC）的乘积。（yC，zC）即形心坐标。利用合力矩定理：形心与静矩的关系当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。形心轴：通过平面图形形心的轴称为形心轴。平面图形对其形心轴的静矩必为零

4、。如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩zyC组合图形由若干个简单图形（矩形、三角形、圆等）组成的平面图形即组合图形。组合图形的静矩组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积;n为组成组合图形的简单图形的个数。3、组合图形的静矩和形心组合图形的静矩：组合图形形心坐标的计算公式组合图形的形心组合图形的形心yCi、zCi及Ai为各简单图形的

5、形心坐标和面积yC、zC及A为组合图形的形心坐标和面积例1试计算如图所示的平面图形的形心位置。801201010zyC1C2解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2A2=70×10mm2=700mm2求得该平面图形的形心坐标为801201010zyC1C2A1=1200mm2A2=700mm2C（19.74，39.74）另解：用负面积法求解。将平面图形看作由大矩形Ⅰ减去矩形Ⅱ组成。矩形Ⅰ:矩形Ⅱ:A1=80×120=9600mm2A2=－70×110mm2=－7700mm28012010

6、10z1y1C1ⅠⅡC2求得该平面图形的形心坐标为二、惯性矩、极惯性矩、惯性积1、惯性矩与极惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积（也称为图形对轴的二次矩）。dAzyyzr极惯性矩是面积对点的二次矩。惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。惯性矩的数值恒为正。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。常用单位为m4或mm4。2、惯性积惯性积是面积与其到两正交轴距离之积。惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为m

7、4或mm4。dAzyyzr如果坐标轴z或y中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。dAzzyydAz2、惯性积3、惯性半径式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。或改写成惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即4、组合图形的惯性矩组合图形对某一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对该轴惯性矩之和。即例2矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩

8、、惯性半径及惯性积。解(1)计算截面对形心轴z、y的惯性矩截面对z轴的惯性矩为截面对y轴的惯性矩为bhzdzdAydydACyz取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y，则dA=bdy(2)计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z轴和y轴的