线性代数 第2.5节非齐次线性方程组

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1、第2.5节非齐次线性方程组矩阵形式m个方程，n个未知数8/5/20211(Spring2010,14ppt)称A、B分别为非齐次方程组的系数矩阵和增广矩阵。定理2.11:非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等(R(A)=R(B))8/5/20212(Spring2010,14ppt)性质2.4设x和y是非齐次线性方程组(2.17)的两个解向量，则x-y是(2.11)所对应的齐次线性方程组的解向量。性质2.5设x是非齐次线性方程组(2.17)的一个解向量，y是(2.11)所对应的齐次线性方程组的解向量,则x+y是(2.17)的解向量.性质2.6设x0是非齐次线

2、性方程组(2.17)的一个已知解(称为特解)，则(2.17)的任意一个解向量都可以表示为x0与(2.11)的某个解向量的和.(2.17)(2.11)8/5/20213(Spring2010,14ppt)非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组(2.17)(2.11)8/5/20214(Spring2010,14ppt)例2.9解方程组解所以R(A)=R(B)=2,即方程组有解.。8/5/20215(Spring2010,14ppt)8/5/20216(Spring2010,14ppt)令可得方程组的一个特解相应的齐次方程组的通解为所以原方程组的通解为8/5/20217(Spring2010,14

3、ppt)例解下列线性方程组解对增广矩阵B施行初等行变换8/5/20218(Spring2010,14ppt)由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵的秩等于２，而增广矩阵的秩等于３，因此该方程组无解。8/5/20219(Spring2010,14ppt)解对增广矩阵实施行的初等变换齐次方程组的基础解系特解通解例8/5/202110(Spring2010,14ppt)1.设,,求的通解．解同解方程组为基础解系：特解：练习通解8/5/202111(Spring2010,14ppt)2.解：8/5/202112(Spring2010,14ppt)8/5/202113(Spring2010

4、,14ppt)8/5/202114(Spring2010,14ppt)3.8/5/202115(Spring2010,14ppt)8/5/202116(Spring2010,14ppt)第二章：向量与线性方程组（小结）(1)利用定义判别:是判别向量线性相关性的基本方法，适用于分量已具体给出的向量组,也适用于分量中含有待定参数的向量组.向量组线性相关性的判定.8/5/202117(Spring2010,14ppt)求向量组与矩阵的秩A.把向量组求秩转化为矩阵求秩;B:矩阵的求秩，进行行初等变换.化成阶梯形矩阵.8/5/202118(Spring2010,14ppt)线性方程组的求解(齐次与非齐

5、次)(1)初等行变换法：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，然后根据方程组系数矩阵与增广矩阵的秩的情况判断方程组是否有解？a:有解时，求出方程的一般解b:若所求线性方程组含有待定参数,还要进一步讨论参数方程组的情况.初等行变换法是求解线性方程组的最一般方法，而克莱姆法则只在特殊情况（方程组有唯一解且系数得列式容易计算）下才使用.8/5/202119(Spring2010,14ppt)作业P642.5(1),(3).2.78/5/202120(Spring2010,14ppt)定理2.11:非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等(R(A)=R

6、(B))附：定理2.11的证明8/5/202121(Spring2010,14ppt)以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（2.18）等价.8/5/202122(Spring2010,14ppt)8/5/202123(Spring2010,14ppt)