线性代数齐次线性方程组

《线性代数齐次线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节齐次线性方程组一齐次线性方程组解的性质三应用举例二基础解系及其求法１、解向量设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若称为方程组（1）的解向量，它也就是向量方程　　　的解．２、齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解．易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间，则使得方程成立，称其为齐次线性方程组　　　的解空间１、基础解系的定义二、基础解系及其求法基础解系，则方程组　　　的通解可表示为：方程组　　　的解空间N(A)中，它的某一个部

2、分组②线性相关.①线性无关；则称　　　　　为齐次线性方程组的一组基础解系.满足：如果　　　　　为齐次线性方程组的其中　　　　　为任意实数.注：基础解系为解空间的一组基２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为r，量线性无关．因此，Ａ的前r个行向又任意r+１个行向量线性相关，所以齐即（１）中的前r个方程与（１）同解.（２）并不妨设Ａ的左上角r阶子式次线性方程组的m-r个方程多余.所以对系数矩阵Ａ进行行初等变换，将其化为行标准形所以即（３）于是，（１）的全部解就可以写成其中是任意实数.根据向量的运算法则，（

3、３）可以整理成为：令（４）为（４）（５）则（５）就为方程组　　　的通解.如果为齐次线性方程组（１）的一个基础解系.１、证明线性无关.由于n-r个n-r维列向量线性无关，所以n-r个n维向量２、证明解空间的任一解都可由线性表示.设为某一解向量，再构造的一个线性组合：亦线性无关.下证是线性方程组的一组基础解系.由于是的解，故η也是　　　的解.易知：方程组的前r个未知量可由后n－r个未知量唯一确定.所以　　　是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１、解空间的基不是唯一的．２、解空间的基又称为方程组的基础解系．３、任n-r个线性无关

4、的解向量构成基础解系．定理n元齐次线性方程组　　　　的全体解所构成的集合N(A)是一个向量空间，当系数矩阵的秩为r时，解空间N(A)的维数为n-r.当　　　　时，线性方程组必有含n-r个向量的基解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）当　　　　时，线性方程组只有零解，故没有基础础解系　　　　　　，此时线性方程组的解可以表示为其中为任意实数，解空间可以表示为解把系数矩阵Ａ用初等行变换变成为例1求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.三、应用举例所以基础解系为所以线性方程组的通解为例2齐次线性方程组只有零解，则λ满足（　

5、　　）.例3设n阶矩阵Ａ的各行元素之和为0，且秩为的通解为_______________.n-1，则线性方程组分析：则的基础解系只有一个向量.设的第ｉ个方程为又矩阵Ａ的各行元素之和为0，即为它的一个解向量.的通解为例4设三阶矩阵Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，（１）求λ.（２）证明解（１）因为Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.（２）当　　时，方程组的矩阵为所以则线性方程组基础解系所含向量的个数为3－2＝1个，例5设A为m×n的矩阵，证明：r(A)=r(ATA)分析：A为m

6、×n的矩阵，则ATA为n×n的矩阵r(A)=r(ATA)<==>dimN(A)=dimN(ATA)事实上，AX=0与ATAX=0同解I.若AX0=0，则ATAX0=0II.若ATAX1=0，则X1TATAX1=0，即(AX1,AX1)=0<==>AX1=0